数学归纳法1.ppt

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1、数学归纳法回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的举例说明：一个数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=猜测an＝?由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的所以由归纳法得到的结论不一定可靠1111猜测是否正确呢？在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法

2、来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？多米诺骨牌成功的关键有两点：(1)第一张牌被推倒(2)假如某一张牌倒下,则它的后一张牌必定倒下于是,我们可以下结论：多米诺骨牌会全部倒下（基础）（依据）证明一个与正整数n有关的数学命题关键步骤如下：这种证明方法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n0时命题成立完成这两个步骤后,就可以断定：命题对从开始的所有正整数n都成立(2)假设当时,命题成立证明当时,命题也成立（基础）（依据）证明：（1）当n=1时，等式是成立的（2）假设当n=k时等式成立，就是那么这就是说，当

3、n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知等式对任何都成立如果是等差数列，已知首项为公差为，那么对一切都成立例1试用数学归纳法证明因此数学归纳法是一种科学的递推方法(1)是递推的基础(2)是递推的依据例2、用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n-1)＝n2(2)假设n＝k时，等式成立，即(1)n＝1时，左边=1，右边=1，等式成立；1+3+5+…+(2k-1)＝k2那么当n＝k+1时，∴由①、②可知对任何n∈N*时，等式都成立需要证明的式子是?1+3+5+…+(2k-1)+（2k+1）＝k2+（2k+1）＝（k+1）2这就是说，当n=k+1时，等式也成立

4、例3、用数学归纳法证明右边＝那么当n=k+1时（2）假设当n=k时，等式成立，，等式成立证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何都成立思考：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左

5、边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的

6、基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？答：不一定举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是此时n取的第一值用数学归纳法证明与正整数n有关的数学命题时，需注意：要完成两个证明，一个结论（1）在完成第一个证明时，弄清n取的第一个值是多少（2）在第二步中，要弄清当n=k+1时，我们要证明的是什么，并且这个证明要在假设条件下进行，不能脱离假设条件，否则不符合数学归纳法的证明要求2.数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：（1）证明当取第一个值

7、（如或2等）时命题成立递推基础（2）假设时命题成立证明时命题也成立递推依据在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立1.数学归纳法适用范围:仅限于与正整数有关的数学命题3.数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷课堂小结作业：练习册7.4---A组---1，2，3，4B组---17.5---A组---1，2，3