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时间:2020-02-06
《空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、.【巩固练习】一、选择题1.设平面内两个向量的坐标分别为(1,2,1),(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向量的是()A.(-1,-2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)2.如图,是正方体,,则与所成角的余弦值是()A.B.C.D.3.如图,是直三棱柱,,点分别是的中点,若,则与所成角的余弦值是()A.B.C.D.4.若向量与的夹角的余弦值为,则()A.B.C.或D.2或5.在三棱锥中,,,点分别是的中点,⊥底面,则直线与平面所成角的正弦值()A.B.C.D.6.(2015秋湛江校级期末)在正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面内的投影,P为
2、侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平面PAC的夹角是()A.30°B.45°C.60°D.75°7.在三棱锥中,,,点分别是的中点,⊥底面,则直线与平面所成角的正弦值是()..A.B.C.D.二、填空题8.若平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,则与所成角的余弦值为_.9.正方体中,分别为的中点,则异面直线与所成角的大小是______.10.已知三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,垂直于底面,=3,那么直线与平面所成角的正弦值为.11.如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,,则平面和平面的夹角余弦值是_______.三、解答题12.
3、如图,点在正方体的对角线上,∠.(Ⅰ)求与所成角的大小;(Ⅱ)求与平面所成角的大小.13.如图,四棱锥的底面是菱形,其对角线,,,都与平面垂直,,,求平面与平面的夹角大小...14.如图(1),在Rt△中,∠=90°,=3,=6,分别是,上的点,且∥,,将△沿折起到△的位置,使,如图(2).(1)求证:⊥平面;(2)若是的中点,求与平面所成角的大小;(3)线段上是否存在点,使平面与平面垂直?说明理由.15.(2016浙江理)如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:EF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求
4、二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直,即它们的数量积为零...排除A,C,D,选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为1,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则.所以,,,,,.所以,因此,与所成的角的余弦值是.3.【答案】A【解析】如图所示,以为原点建立的空间直角坐标系,则由中点公式可知,,,.4.【答案】C【解析】由可得,,即,即或.5.【答案】D【解析】..6.【答案】A【解析】如图,以O为坐标原点,以OA为x轴,OB为y轴,以OS为z轴,建立空间直角坐标系O—xyz。设OD=S
5、O=OA=OB=OC=a,则A(a,0,0),B(0,a,0),C(-a,0,0),,则,设平面PAC的一个法向量为,则,∴,可取,∴,∴,..∴直线BC与平面PAC的夹角为90°-60°=30°故选A。7.【答案】D【解析】8.【答案】【解析】由,知与所成角的余弦值为.9.【答案】【解析】以A为原点建立直角坐标系(如图所示),设B(2,0,0),则E(1,0,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),A1(0,0,2),∴,,∴,..∴.10.【答案】【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直
6、于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴E为BC中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面SAE,∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面SBC,∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长3,∴,AS=3,∴SE=,AF=,∴.11.【答案】【解析】因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1,则B(0,1,0),D(1,0,0),E(0
7、,0,1),C(1,1,0).因为FA=FE,∠AEF=45°,所以∠AFE=90°.从而,.所以,..设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z).,,由得取y=1,则x=1,z=3.从而.由AE⊥平面ABCD可知,平面ABD的一个法向量为,设平面和平面的夹角为,则.12.【解析】如图,以点为原点建立空间直角坐标系,设为单位长,则=,=.连结,,在平面BB1D1D内,延长DP,交于点H,设=(m>0),由条件知<,>=60°.由·=
8、
9、
10、
11、cos<,>,可得2m=.解得m=
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