空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题详细答案(word版)

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1、【巩固练习】一、选择题1.设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是()A.（-1，-2，5）B.（-1，1，-1）C.（1，1，1）D.（1，-1，-1）2.如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．3.如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4.若向量与的夹角的余弦值为，则()A．B．C．或D．2或5.在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值（）A．B．C．D．6

2、.（2015秋湛江校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（）A．30°B．45°C．60°D．75°7.在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值是（）A．B．C．D．二、填空题8．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为_．9．正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是______.10.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直

3、线与平面所成角的正弦值为.11.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，，则平面和平面的夹角余弦值是_______.三、解答题12.如图，点在正方体的对角线上，∠.（Ⅰ）求与所成角的大小；（Ⅱ）求与平面所成角的大小.13.如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，，求平面与平面的夹角大小.14.如图（1），在Rt△中，∠＝90°，＝3，＝6，分别是，上的点，且∥，，将△沿折起到△的位置，使，如图（2）．(1)求证：⊥平面；(2)若是的中点，求与平面所成角

4、的大小；(3)线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．15．(2016浙江理)如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．(Ⅰ)求证：EF⊥平面ACFD；(Ⅱ)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案与解析】1.【答案】B【解析】排除法.平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.排除A，C，D，选项为B.2.【答案】A【解析】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则．所以，

5、，，，，．所以，因此，与所成的角的余弦值是．3.【答案】A【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系，则由中点公式可知，，，.4.【答案】C【解析】由可得，，即，即或.5.【答案】D【解析】6.【答案】A【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz。设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），，则，设平面PAC的一个法向量为，则，∴，可取，∴，∴，∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°

6、=30°故选A。7.【答案】D【解析】8.【答案】【解析】由，知与所成角的余弦值为.9.【答案】【解析】以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2），∴，，∴，∴.10.【答案】【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴B

7、C⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，∴，AS=3，∴SE=，AF=，∴.11.【答案】【解析】因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，所以AE⊥AB.又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以AE⊥平面ABCD.所以AE⊥AD.因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-xyz.设AB=1，则B（0，1，0），D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，

8、0).因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°.从而，.所以，设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.，，由得取y=1，则x=1，z=3.从而.由AE⊥平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则.12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则=，=.连结，，在平面BB1D1D内，延长DP，交于点H，设=(m>0)，由条件知<，>=60°.由·=

9、

10、

11、

12、cos<，>，可得2m=.解得m=.所以=.（Ⅰ）因为cos<，