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1、......第9章平稳时间序列模型§9.1随机过程、时间序列1.随机过程由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，随机过程简记为{xt}或x(t)，xt。随机过程也常简称为过程。2.随机过程的为类随机过程一般分为两类。（1）离散型。如果一个随机过程{xt}对任意的tÎT都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。（2）连续型。如果一个随机过程{xt}对任意的tÎT都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。3．宽平稳过程（1）m阶宽平稳过程。如果一个随机过程m阶矩以下的矩的取值全部
2、与时间无关，则称该过程为m阶宽平稳过程。（2）二阶宽平稳过程。如果一个随机过程{xt}E[x(t)]=E[x(t+k)]=m<¥,Var[x(t)]=Var[x(t+k)]=s2<¥,Cov[x(ti),x(tj)]=Cov[x(ti+k),x(tj+k)]=sij2<¥,其中m,s2和sij2为常数，不随t,(tÎT);k,((tr+k)ÎT,r=i,j)变化而变化，则称该随机过程{xt}为二阶平稳过程。该过程属于宽平稳过程。4.时间序列随机过程的一次实现称为时间序列，也用{xt}或xt表示。时间序列中
3、的元素称为观测值。{xt}既表示随机过程，也表示时间序列。xt既表示随机过程的元素随机专业.专注.......变量，也表示时间序列的元素观测值。在不致引起混淆的情况下，为方便，xt也直接表示随机过程和时间序列。5.滞后算子(1)一阶滞后算子。L称为一阶滞后算子，其定义是：Lxt=xt-1(2)高阶滞后算子。L2xt=xt-2，Lnxt=xt-n6.差分算子时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。对于时间序列xt，（1）一阶差分可表示为Dxt=xt-xt-1=xt-Lxt=(1-L)xt(9.1)其
4、中D称为一阶差分算子。D=(1-L)（2）二次一阶差分表示为D2xt=D(Dxt)=Dxt-Dxt-1=(xt-xt-1)–(xt-1-xt-2)=xt-2xt-1+xt–2，或D2xt=(1-L)2xt=(1–2L+L2)xt=xt–2xt-1+xt–2(9.2)(3)k阶差分可表示为Dkxt=xt-xt-k=xt–Lkxt=(1-Lk)xtk阶差分常用于季节性数据的差分。7.两种基本的随机过程(1)白噪声（whitenoise）过程对于随机过程{xt,tÎT},如果(1)E(xt)=0,(2)Var(
5、xt)=s2<¥,tÎT;专业.专注.......(3)Cov(xt,xt+k)=0,(t+k)ÎT,k¹0,则称{xt}为白噪声过程。白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述白噪声是二阶宽平稳随机过程。(2)随机游走（randomwalk）过程对于下面的表达式xt=xt-1+ut(9.3)如果ut为白噪声过程，则称xt为随机游走过程。“随机游走”一词首次出现于1905年自然（Nature）杂志第72卷PearsonK.和RayleighL.的一篇通信中。该信件的题目是
6、“随机游走问题”。文中讨论寻找一个被放在野地中央的醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。①随机游走过程的均值为零xt=xt-1+ut=ut+ut-1+xt-2=ut+ut-1+ut-2+…E(xt)=E(ut+ut-1+ut-2+…)=0,②随机游走过程的方差为无限大Var(xt)=Var(ut+ut-1+ut-2+…)=®¥所以随机游走过程是非平稳的随机过程。专业.专注.......§1.2时间序列模型的分类1．自回归过程1)定义如果一个线性过程xt可表达为xt=f1xt-1+f2xt-2+…+fpxt-p
7、+ut(9.4)其中fi,i=1,…,p是自回归参数，ut是白噪声过程，则称xt为p阶自回归过程，用AR(p)表示。模型:xt=f1xt-1+f2xt-2+…+fpxt-p+ut称为p阶自回归模型。xt是由它的p个滞后变量的加权和以及ut相加而成。2)滞后算子表示自回归过程xt=f1xt-1+f2xt-2+…+fpxt-p+utxt=f1Lxt+f2L2xt+…+fpLpxt+ut即xt-f1Lxt-f2L2xt-…-fpLpxt=ut(1-f1L-f2L2-…-fpLp)xt=utF(L)xt=ut(9
8、.5)其中F(L)=1-f1L-f2L2-…-fpLp称为特征多项式或自回归算子。F(L)=0,或1-f1L-f2L2-…-fpLp=0，称为特征方程。3）平稳性（1）一阶自回归过程的平稳性AR(p)过程中最常用的是AR(1)过程:xt=f1xt-1+ut特征方程是(1-f1L)=0特征方程根是L=1/f1保持其平稳性的条件是特征根的绝对值必须大于1，满足
9、1/f1
10、>1专业.专注.......也就是
11、f1
12、<1解释如下：一阶
