第2章 平稳时间序列模型

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1、第二章平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。2．1平稳性时间序列的均值和协方差一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。如果这个过程是正态过程，可以完全刻画这个随机过程的分布性质。如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。下面的问题是如何来估计，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）那么，的估计是但对大多数过程来说，得不到更多的实现。如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。对一个实现，不可能估计出。为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：

2、均值和方差不随时间而改变。如果对任何t,t-s,都有这里都是常量，与时间无关，是依赖于的常量。这样的随机过程称为协方差平稳。可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。一个更进一步的假设是遍历性（ergodic）。这是一个较难理解的一个概念。遍历性是指，按时间平均是总体均值的无偏、一致估计。即。同理，的估计也是一致的。因此，如果有平稳性和遍历性的假设，利用关于时间的平均，就可以得到较好的估计。遍历性的一个必要条件（但不

3、充分）是。对于一个协方差平稳的序列，和之间的自相关系数可定义为因此，之间的自相关系数与之间的自相关系数相同，显然。序列描述了这个过程的一个值与先前的值的相关程度，所以自相关系数可用来测量过程本身的记忆性的长度和强度，即在时刻t的值与时刻t-s的值的相关程度。的图形被称为相关图。用来刻画这个过程生成机制的线性性质。2.2自回归模型如果一个时间序列可表示成是零均值白噪声则称为一阶自回归过程。记为~。由Yule(1927)引入，起源于实践。如，每月的失业人数可认为是上月失业人数的一个固定比例，加上寻求职业的工人数。如果这些人数形成一个白噪声序列，那么，失业序列就是一阶自回归。更一般的形

4、式称为阶自回归过程。记为。如果=0的根在单位园外，则过程是平稳的。用滞后算子表示为，它的一般解为。如果平稳性条件成立，则。这里，。特别地，如果~那么，，所以，(2.2.1)如果，则，由此可看出，如果，的解具有发散性质。2.3运动平均模型一般的运动平均的模型是按这样方式构成的序列被称为阶为q的运动平均，记为~MA(q)。运动平均过程由Yule（1926）引出，Wold（1938）进行了详细地研究。如果一个经济变量处在均衡中，如果受到来自经济系统内部（或外部）不可预期事件的冲击而偏离原来状态。如果本系统并不能立刻吸收这些冲击效应，那么，将出现一个运动平均模型。如，一个小型商品市场得到

5、了一系列关于农产品状况的信息，一条特别新闻对价格有即时影响，也有不同程度的滞后影响，令表示价格在t处的变化，假设这种冲击影响价格变化，直到q天,这种冲击影响消失。这时，较适当的模型是MA(q)如果影响是逐渐消失），，即天前的影响是，则,由（2.2.1），可表示成这时，过程等价于过程。由2.2节知道，平稳的过程可以写成，那么，如果的根在单位园外（可逆性性条件成立），则过程可以写成过程。2.4ARMA模型将自回归模型和运动平均模型结合起来，（2.4.1）总可以将标准化成1，如果自回归部分和运动平均部分的滞后阶数分别为p,q，模型被称为ARMA(p,q)。如果q=0，这过程被称为自回归

6、过程AR(p),如果p=0,这过程是运动平均过程MA(q)。在ARMA模型中，允许p,q是无限的。用滞后算子表示为这里。这时容易知道：（1）如果的根在单位园外，则过程是平稳的。（2）如果过程是平稳的，则有一个等价的过程。（3）如果的根在单位园外（通常称为可逆性条件），则有一个等价的过程。这说明，一个平稳的ARMA过程可以逼近高阶MA过程。如果过程满足可逆性条件，这过程可以逼近高阶AR过程。2．5自相关函数Box-Jenkins(1976)在识别和估计时间序列时，给出了非常有用的工具是自协方差和自相关。如AR(1)模型每个除，得到自相关。对于AR(1)过程，平稳的必要条件是。相对s

7、的图形称为自相关函数(ACF)。因此，如果这个序列是平稳的，这个自相关函数是几何收敛到零。如果是正的，则这个自相关函数直接收敛到零。如果是负的，这个自相关函数按振荡的方式收敛到零。AR(2)过程的自相关函数（2.5.1）这里省略了截距项，这是因为截距不影响ACF。下面利用Yule-Walker方程的方法：用分别乘方程（2.5.1）两边，并取期望，可得由于，可得（2.5.2）（2.5.3）（2.5.4）用除方程（2.5.3），（2.5.4）得（2.5.5）（2.5.6）由，有，因此