第4章_非平稳时间序列模型)

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1、第4章非平稳时间序列模型迄今为止，我们所讨论的时间序列过程都是平稳过程，但是许多应用时间序列过程是非平稳的，尤其那些来自经济和商业领域的数据。对于协方差平稳过程，非平稳时间序列以多种不同的方式出现，这些非平稳时间序列可能随时间的变化（一下简称时变）的均值，时变的二阶距（如时变的方程），或者二者皆有。例如，图4-1给出了1960年1月—2002年8月美国16~19岁失业女性数量的月度序列图，清楚地显示出了其均值水平在随着时间的变化而变化。图4-2给出了1871-1984年间美国年度烟草产量的时序图，不仅显示出均值水平对时间的依赖，也显示方差

2、随着均值水平的提高而增长。本章将阐述如何建立一类非常有用的齐次非平稳时间序列模型，即自回归求和移动平均（autoregressiveintegratedmovingaverage，ARIMA）模型。为了将平稳和非平稳时间序列模型联系起来，本章将引入一些有用的差分和方差稳定变换。4.1均值非平稳均值非平稳过程给我们提出了一个非常严峻的问题。即在没有重复观测的情形下时变均值函数的估计问题。幸运的是，现已能从单个实现构建模型去描述这种依赖于时间的情形。本节将引入的两类模型在均值非平稳时序建模中的作用是很大的。4.1.1确定性趋势模型非平稳过程的

3、均值函数可以用一个时间的确定性模型函数来表示。在这种情形下，可以用一个标准回归模型来描述依赖与时间的情况。例如，如果均值函数具有线性趋势，即，那么就可以使用如下确定性线性趋势模型（4.1.1）其中，是0均值的白噪声，对于确定性的二次均值函数，可以使用（4.1.2）来描述。更一般地，如果确定性趋势可以用时间的K阶多项式来描述，那么可以通过如下方程建模（4.1.3）如果确定性趋势可以用正弦—余弦曲线来表示，那么可以使用（4.1.4）（4.1.5）其中（4.1.6）（4.1.7）以及（4.1.8）称为曲线的振幅，为曲线的频率，为曲线的相位。更一

4、般地，有（4.1.9）其常常被称为隐周期模型。我们可以用标准的回归分析来分析这些模型，后面第13章中将再次讨论。4.1.2随机趋势模型和差分尽管很多时间序列是非平稳的，但是由于某些作用，这些序列的不同部分的特性非常相似，只不过是局部均值水平不同而已。Box和Jenkins（1976，p.85）称此类非平稳为齐次非平稳。由ARMA模型可知，如果其AR多项式的某些根不在单位圆之外，那么过程为非平稳的。然而，由于齐次性，这种齐次非平稳序列的局部特征与其均值水平是独立的。因此，令为描述这种特性的自回归算子，对于任意常数C，我们有（4.1.10）该

5、等式意味着：对于某个d>0，的形式必定为其中，为一个平稳自回归算子。于是，通过序列的适当差分，一个齐次非平稳序列就退化为一个平稳序列。也就是说，序列{}是非平稳的，但是对于某个整数，其d阶差分序列{}是平稳的。例如，如果d阶差分序列为高斯白噪声序列，那么有（4.1.12）为了弄清楚这种齐次非平稳序列的具体含义，考虑（4.1.12）中d=1的情形，即（4.1.13a）或（4.1.13b）若给定过去信息，则序列在时刻t的均值水平为（4.1.14）其取决于时刻（t-1）的随机扰动。换言之，中的过程的均值水平随时间随机变化，而我们把该过程可化为具

6、有随机趋势。此模型不同于前一节所提到的确定性趋势模型，在确定性趋势模型中过程在时刻t的均值水平是纯粹的关于时间的确定性函数。4.2自回归求和移动平均模型通过适当差分，一个齐次非平稳时间序列能够转化为一个平稳时间序列。因为自回归移动平均模型在描述平稳时间序列方面是很有用的，所以本节将讨论使用差分来建立一大类时间序列模型，即自回归求和移动平均模型，其在描述各种齐次非平稳时间序列方面很有用。4.2.1一般ARIMA模型显然，对齐次非平稳序列进行适当差分得到的平稳过程不必想式（4.1.12）中那样是高斯白噪声。更一般地，差分序列服从第3章的式（3

7、.4.1）中所讨论的一般平稳ARMA（p、q）过程。于是，有（4.2.1）其中，平稳AR算子和可逆MA算子没有公因子。参数对d=0和d>0起不同的作用。当d=0时，原过程是平稳的，由（3.4.16）可知与过程的均值有关，即=。然而，时，被称作确定性趋势项，如同下一节中所指出的，除非需要，在模型中常常可以忽略不计。我们将式（4.2.1）中得到的齐次非平稳模型成为（p、d、q）阶自回归求和移动平均模型，记为ARMA（p、d、q）模型。当p=0时，ARMA（p、d、q）模型也被称为（d、q）阶整合移动平均模型，记为IMA（d，q）模型。在下面的

8、讨论中，将给出一些经常遇到的ARMA模型。4.2.2随机游走模型在式（4.2.1）中，如果p=0，d=1，q=0，那么就是著名的随机游走模型（4.2.2a）或（4.2.2b）该模型被广泛飞用于