经典几何模型之“阿氏圆”.pdf

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1、经典几何模型之“阿氏圆”————段廉洁一.模型名称由来【模型背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼

2、斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。二.模型建立如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？模型解读：最早见“PA+PB”型问题应该是在“将军饮马”问题中，而本题多了一个“k”，故如何确定“k·PB”的大小是关键，如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“

3、PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点,P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3三.“阿氏圆”模型破解策略【破解策略详细步骤解析】第一步：连接动点于圆心O（一般将含有k的线段两端点分别与圆心O相连），即连接OB、OP；第二步：计算出线段OP与OB及OP与OA的线段比，找到线段比为k的情况，如例OP子中的kOBOCOP第三步：在OB上取点C，使得；（核心关键步骤）OPOB第四步：连接AC，与⊙O的交点即为点P【核心步骤另单独解析】OCOP回顾图2，在OB上取点C构建的目的是为了形成“母子型相似模型”，“母OPOB子型相似”的构建是“阿氏

4、圆”模型破解的“核武器”，“母子型相似”一出，“阿氏圆”直接秒杀。将图2中△BPO单独提取出，如图4，上色渲染的△PCO∽△BPO，就是“母子型相似OCOP模型”，“母子型相似模型”的特点如图4，△PCO与△BPO有公共角∠O，且（在OPOB某些角度处理策略题中，“母子型相似”的主要特征是∠0=∠O、∠B=∠OPC）OCOP2（构造出△PCO∽△BPO后可以得到，进而推出OPOBOC，即“半径的平OPOB方=原有线段×构造线段”，确定C的位置后，连接AC，求出AC长度“阿氏圆”即可破解）四.“阿氏圆”典型例题讲解例1：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90

5、°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动1点，连接AP、BP，求AP+BP的最小值.2CP1CP1解答：如图2，连接CP，因为CP=2，AC=6，BC=4，简单推算得，，而题AC3CB211CP1目中是求“AP+BP”其中的“k=”，故舍弃在AC上取点，应用“”，所以在22CB2CDCPPD1CB上取一点D，使CD=1，则有，无论P如何移动，，△PCD与△BCPCPCBBP211始终相似，故PD=BP始终成立，所以AP+BP=AP+PD，其中A、D为定点，故A、P、221221D三点共线时最小，AP+BP=AP+PD=AD=ACCD=37（思

6、考：若求BPPA呢？）23（大家仔细看第一题的解答过程，边看边与前面的“破解策略”对照，动脑筋悟出“核武器”）例2：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.AO1BC5解答：首先连接OP，因为OP=6，OA=3，OB=5，所以、，题目求的是“2PA+PB”，OP2OP6AO1其中的“k=2”与之相关的是，故在OA上取点，考虑到是2PA，故在OC上取点H，OP2OAOPAP1使OH=12，则有，无论P如何移动，△PAO与△HPO始终相似，故OPOHPH2PH=2PA始终成立，所以2PA

7、+PB=PH+PB，其中H、B为定点，故H、P、B三点共线时最226小，2PA+PB=PH+PB=OHOB=13.（思考：若求APPB呢？）5例3：如图1，已知AC=6，BC=8，AB=10，⊙C的半径为4，点D是⊙C上的动点，连接1AD、BD，则AD+BD的最小值为？2CD1CD2解答：首先连接CD，因为CD=4，CB=8，CA=6，所以、，题目求的是CB2CA311CD1“AD+BD”，其中的“k=”与之相关的是，故在CB上取点，故在CB上取点22CB2CHCDHD1H，使CH=2，则有，无论P如何移动，△DHO与△BDC始终相似，CDCBB