“圆来如此简单”经典几何模型之隐圆专题.pdf

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1、经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单”————段廉洁一.名称由来在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！二.模型建立【模型一：定弦定角】【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】

2、三．模型基本类型图形解读【模型一：定弦定角的“前世今生”】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】四．“隐圆”破解策略牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备六．“隐圆”典型例题【模型一：定弦定角】1.（2017威海）如图1，△ABC为等边三角形，AB=2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为__________。简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所

3、以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为AC定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC为边向下作等边△AOC，以O为圆心，OA为半径作⊙O，P在⊙O上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离），此时BP=23-22.如图1所示，边长为2的等边△ABC的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A在射线OD上移动，则顶点C到原点O的最大距离为__________。简答：

4、因为∠AOB=30°（定角），AB=2（定弦），故A、B、O三点共圆，圆心角为60°，故以AB为边向O方向作等边△ABQ，∠AQB=60°为圆心角，Q为圆心，以QA为半径作⊙Q（如图2），由知识储备二可知当OC⊥AB时，OC距离最大，OC=OQ+QH+HC=2+3+3=2+23【思考：若∠BOD=45°呢？（提示：需要构造倍角模型）】3.如图1，点A是直线y=-x上的一个动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积最大值为（）A.2B.21C.21D.22简答：因为AB=2（定弦），∠AO

5、B=135°（定角），因为∠AOB是圆周角，故圆心角为90°，以AB为斜边向上方作等腰直角△QAB，则Q为圆心（如图2），由“知识储备二”可知，当OQ⊥AB时，此时△OAB的高OH最大，面积最大。面积为11ABOH2(21)21，所以此题选择B。22同学：老师，你说错答案了，选C。小段老师：没错啊，就选B啊。同学：你是老师，你说了算，你开心就好...小段老师：题目有告诉你们A、B在哪里吗，为什么想当然觉得∠AOB=135°呢，难道不可能等于45°吗？如图3，构建⊙Q，由“知识储备二”可知

6、当OQ⊥AB时，此时△OAB的11面积最大为ABOH2(2+1)2+1，故答案选B224.如图1，AC为边长为23的菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同速度沿BC、CA向终点C和A运动，连接AM和BN，求△APB周长的最大值简答：如图2，由M、N点速度相同可知BM=CN，易证△ABM≌△BCN，故∠NBC=∠BAM（如图2），又因为∠NBC+∠ABN=60°，所以∠BAM+∠ABN=∠APN=60°（外角性质），所以∠APB=120°（定角），又因为

7、AB长度固定（定弦），故以AB为底向左侧构建等腰△QAB，∠AQB=120°，则P在⊙Q上，由“知识储备三”可知，当△ABP是等腰三角形时，△ABP周长最短。又由△APB是定角为120°的等腰三角形，故AP:BP:AB=1:1:3，AB=AC=23，故PB=PA=2，故△ABP的周长最大值为4+23【模型二：动点到定点定长】1.如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD,若∠CAD=76°，则∠CBD=_______度。1简答：如图2，因为AB=AC=AD，故B、C、D三点在以A为圆心的圆上，故∠CB

8、D=∠2CAD=38°2.如图，在△ABC内有一点D，使得DA=DB=DC，若∠DAB=20°，则∠ACB=__________。简答：如图2，因为DA=DB=DC，故A、B、C三点在⊙D上，∠DAB=∠DBA=20°，故∠1ADB=140°，故∠ACB=∠ADB=70°23.如图1，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=6，求BD简答：因为∠1=∠2，AD∥BC，故∠3=∠1，∠4=∠2，故易证△AEB≌△ACD，故EB=CD=