2011级线性代数期末复习题解答.doc

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1、2011级线性代数期末复习题一．选择题1.已知向量组线性无关，则向量组[（C）]（A）线性无关。（B）线性无关。（C）线性无关。（D）线性无关。对应向量组线性相关。线性相关。类似（B）,(D)对应向量组线性相关。2.设A，B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有[（A）]（A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关（B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关（C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关（D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。A的列向量组线性相关;B的行向量组线性相关.3.对非齐次线性方程组及其导出组，应有[

2、（C）]成立。（A）若仅有零解，则无解；（B）若有非零解，则有无穷多解；（C）若有无穷多解，则有非零解；（D）若有惟一解，则有非零解。注意：齐次方程有解，通常推不出非齐次方程也有解。4.设A为矩阵，齐次线性方程有仅有零解的充要条件是[（A）]（A）A的列向量线性无关；（B）A的列向量线性相关；（C）A的行向量线性无关；（D）A的行向量线性相关。5.若在非齐次线性方程组中，系数矩阵A的秩为r，则[（A）]（A）时,有解（B）时，有惟一解（C）时,有惟一解（D）时,有无穷解注意增广矩阵B的行数为m.R(A)=m,则R(B)=m。6．设n阶矩阵A的伴随

3、矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系[（B）]（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量记住：7.已知是非齐次线性方程组AX=b的两个不同的解。是AX=0的基础解系，则非齐次线性方程组AX=b的通解是[（B）]（A）（B）（C）（D）8.若阶矩阵B与A相似，，是矩阵A的对应于特征值的特征向量，那么矩阵的对应于特征值的一个特征向量为((D))(A).；(B).；(C).；(D).9.设A,B是n阶矩阵，那么（(B)）(A).若A,B合同，则A,B等价；(B)

4、.若A,B相似，则A,B等价；(C).若A,B等价，则A,B合同；(D).若A,B相似，则A,B合同。10.实二次型经过可逆线性变换后得到一个新的二次型,则变换前后两个二次型的矩阵之间的关系是（(B).）.(A).相似；(B).合同；(C).相等；(D).以上三者都不是.二．填空题1．6阶行列式中的符号为_正_。2．设，若3阶非零方阵满足，则_5_。注意：3．设矩阵与相似，，则的行列式24。4．设，，则矩阵有一个特征值3。5.设均为四维列向量，且=__56__566.已知三阶矩阵A的全部特征值为1,-3,2,则_-6_,=_0_,矩阵E+的特征值

5、为__1+1，1-1/3，1+1/2_7.设，_______0____9、设向量组10.设为矩阵，为矩阵，且。则=_0__.AB的秩不超过A的秩，不超过A的列数n.三．解答题2.已知，求=＝13.设A，B均为4阶矩阵，，求。＝。＝(1).为何值时，A的秩最小，最小秩是多少？(2).为何值时，A的秩最大，最大秩是多少？，矩阵X满足AX+E=A2+X,求X。求它的一个最大线性无关组，并将中其他向量用该最大无关组线性表出。最大线性无关组：9.设向量组{a1，a2，a3}线性相关，而向量组{a2，a3，a4}线性无关。问：a1能否由{a2，a3}线性表示

6、？a4能否由{a1，a2，a3}线性表示？为什么？(1).a,b为何值时，不能由线性表示；(2).a,b为何值时，能由唯一线性表示；(3).a,b为何值时，能由线性表示，但表示方式不唯一。记无解，即R(A)

7、方程为:16.证明向量组是的一组基。并求向量在这组基下的坐标。利用线性无关，故是中的一组基。且，故在这组基下的坐标是：（5，-7/3，4/3）.17.设是否存在一个向量r≠0,使得r既可以由、线性表示，又可以由、线性表示。说明理由.分析：只需证明是否存在，（不全为零）也就是证明齐次线性方程组是否有非零解。方程有非零解：，即有：18.已知3阶矩阵A与3维列向量X满足，且向量组线性无关。如果记（1）求3阶矩阵B使得AP=PB；(2)求。（A，B相似）19.设矩阵线性无关。且求方程的通解。20.矩阵的各行向量都是方程组的解向量，问这个行向量组能否构成基

8、础解系？假如不能，是多了，还是少了，若多了如何去掉，若少了如何补充？AX=0的一个基础解系含3个解向量，而R(C)=2故C的行向量中只含