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《高中解析几何资料(齐二次法和曲线系).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、齐二次法一对相交直线(双直线)的斜率的积与和有性质时,可以采用齐二次法.齐二次法的一般步骤:取双直线中心为原点,联立它的截线和另一个二次曲线,调整成纯二次,约去x2整理y/x关系,韦达定理代入性质分析.例1.过点P(m,n)的曲线Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有不过P的动弦AB,(1)PA,PB斜率之积为定值k时,分析直线AB性质;(2)PA,PB斜率之和为0时,分析直线AB性质.解:平移坐标系使新原点落在P上.曲线变为:A(x+m)2+B(x+m)(y+n)+C(y+n)2+D(x+m)+E(y+n)+F=0A(x2+2mx)+B(xy+mx+ny)+C(y2
2、+2ny)+Dx+Ey=0令G=2mA+mB+D,H=nB+2nC+E,曲线变为Ax2+Bxy+Cy2+Gx+Hy=0设直线AB为tx+ry=1,与曲线联立齐次,Ax2+Bxy+Cy2+(tx+ry)(Gx+Hy)=0,y2(C+rH)+xy(B+tH+rG)+x2(A+tG)=0(1)若A=kC(在C≠0时即为)令u为AB斜率,由比例性质,.否则可展开,kC+krH=A+tG,t(-G)+r(kH)=A-kC,,得到AB过新坐标系里点,记它在原坐标系坐标为(α,β),则即AB过点.(2)B+tH+rG=0若B=0,则令v为AB斜率,有.否则由得AB过新坐标系里点,记它在原坐
3、标系坐标为(γ,δ),则即AB过点.这里4个结论得到了由曲线和点P确定的k0,u;(α,β);v;(γ,δ).(注意它们与曲线常数项F无关.)下面代入一些特殊的ABCDE来导出一些推论.椭圆中,导出如果令,可得,可以这样用已知点逆求k,比如过原点时ω=0,即有.特殊地,k=-1时.双曲线中,类似地导出特殊地,k=-1时抛物线y2=2px中C=1,D=-2p,A=B=E=0,类似地导出特殊地,k=-1时(α,β)=(m+2p,-n).抛物线x2=2py中A=1,E=-2p,B=C=D=0,类似地导出特殊地,k=-1时(α,β)=(-m,n+2p).钩函数y=λx+μ/x即λx2
4、-xy+μ=0中A=λ,B=-1,C=D=E=0,类似地导出特殊地,在等轴双曲线-xy+μ=0中,(γ,δ)=(m-n,n-m).从例1推导中也可以注意到,AB性质与PA,PB性质互为充要条件.再从这些推论中可以导出一些题目,如例2,3.例2.A,B,P(m,n)在同一条反比例函数图像上,AB⊥OP,证明直线组PA,PB的2对称轴与AB的具体位置无关并求出对称轴方程.解:旋转π/4得等轴双曲线,用双曲线性质v,由kAB·kOP=-1知kPA+kPB=0,旋转回来即得2对称轴为x+y=m+n和x-y=m-n.例3.椭圆上弦PQ,MN满足,试分析AB,MN性质.解:若ka2=b2
5、设M(x1,y1),N(x2,y2)则kOM=-kPQ=kON,故MN过原点且kMN+kPQ=0否则令,设M(x1,y1),N(x2,y2)则PQ过ω(x1,-y1),ω(x2,-y2),MN:(y1-y2)x-(x1-x2)y+x1y2-x2y1=0PQ:(y1-y2)x+(x1-x2)y+ω(x1y2-x2y1)=0设MN:y=tx+r,PQ:-y=tx+ωr,得kMN+kPQ=0,若MN过(p,q)则q=tp+r,-(-ωq)=t(ωp)+ωr,PQ过ω(p,-q).综上,总有kMN+kPQ=0.若ka2=b2则MN过原点;否则可知,对MN上任一点(p,q)有PQ过ω(
6、p,-q).注:同理可证对抛物线也有斜率和为0的关系.例4.椭圆有弦PQ,证明"OP⊥OQ"等价于"PQ切圆".证:不妨设PQ不过O,可设为tx+ry=1,与椭圆联立得即,有,证毕.注:双曲线中有类似结论.曲线系例5.(2010江苏)以A,B为左右端点的椭圆外有点P(m,n),PA,PB分别交椭圆于异于A,B的M,N,求MN与x轴交点.解:直线PAM:nx-(m+a)y+na=0,直线PBN:nx-(m-a)y-na=0椭圆:b2x2+a2y2-a2b2=0.注意椭圆和双直线(nx-(m+a)y+na)(nx-(m-a)y-na)=0都过A,B,M,N,可得过A,B,M,N的
7、二次线系:(nx-(m+a)y+na)(nx-(m-a)y-na)+λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0取可得分离得到2条直线,y=0和mx-a2+y(…)=0,前一条是直线AB,后一条就是直线MN,显然交x轴于(a2/m,0).注:λ取值如何得到?所需要的曲线是双直线AB-MN,AB已知:y=0,故所需要的方程中x2和x对应系数,常数均为零.即,解之即得.特殊地,当x轴上的点是焦点(等价于M在准线上)时,还可以有例6.例6.A,B,F(c,0)是椭圆(a>b>0)的左右顶点和右焦点,椭圆的弦PQ过F
