二次曲线中的齐次式.doc

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1、二次曲线中的齐次式齐次式是一种常见的关系式，它体现了数学的对称美。有关二次曲线的题目往往运算量较大，引入齐次方程可以化繁为简，化难为易。怎样应用呢？途径1一次方程二次化通过乘积，将两直线方程合成二次式，作为新曲线参与解题。例1直线与双曲线及其渐近线交于A、B、C、D四点（如图1），求证

2、AC

3、=

4、BD

5、。证明将两渐近线方程合成二次式即联立方程组，得由于（1）、（2）消去y，所得二次方程仅常数项不同，因此必有亦即AB、CD中点重合由平面几何知识知

6、AC

7、=

8、BD

9、例2已知：，试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对上任一点P，均存在以P为顶点，与外切、与内接的平行四边形？并证明你的

10、结论。解过P点作的一条直径PR（过椭圆中心的线段称为直径），作直径QS⊥PR，显然PQRS为菱形。（想一想，为什么？）设PS方程为（此为直线的法线式方程，其中为PS垂线的倾角，p为O到PS距离）则直线OP、OS的方程可“合成”为即（可以证明此曲线方程是双曲线型过原点，且过P、S，故即为直线OP与OS两直线方程的“合成”）变形为由OP⊥OS可得所以而菱形PQRS与相切的充要条件为p=1即。途径2常数字母化将直线方程变换为的形式进行代换，消去常数项，巧构齐次方程。例3已知直线与二次曲线＋F=0，相交于M、N两点，试求直线OM、ON垂直的充要条件。解由得代入二次曲线方程得x,y的齐次

11、方程方程是x,y的齐次方程，因此，（*）表示过原点的两直线；又M、N坐标满足方程（*），因此，（*）就是OM、ON的方程。（*）可改写成（其中G是常数不必算出）则OM⊥ON的充要条件是即例4已知圆C：，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。解设l的方程：，则代入圆的方程，得整理得由于，可得由OA⊥OB，则