集美大学线性代数（工科）2011——2012A.doc

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1、装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号集美大学试卷参考答案与评分标准2011—2012学年第一学期课程名称线性代数（工科）试卷卷别A适用学院、专业、年级2010级工科各专业考试方式闭卷开卷□备注本试卷共6页，答题前请检查.总分题号一二三四五六得分阅卷人得分一、填空题(共8个小题，每题3分，共24分)1.设矩阵，，则【】2.设方阵满足，则【】3.设为三阶矩阵的伴随矩阵，，则【】4.向量组的一个最大无关组是【不是！此外其中任意两个向量都是】5.下列命题中，正确命题的个数等于【2】①若线性无关，且线性相关，则必可由线性表示.②若是矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充要条件是

2、.③若方阵满足，则必有.④如果都是可逆矩阵，那么.6.已知是非齐次线性方程组的两个不同解，那么【】一定是的非零解.7.设三阶矩阵的特征值为（二重）与，则【】8.设为互不相同的数，记则线性方程组的解是【】得分二、（12分）设，试求的特征值与特征向量；并确定可逆矩阵，使得为对角矩阵.【评分说明】若方法正确，而计算出错，可酌情给分.解：特征多项式所以特征值为（5分）当，解方程组，得特征向量当，解方程组，得特征向量（10分）P8P7装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号令，则为对角矩阵.（12分）得分三、计算题（共2个小题，每题9分，共18分）1.设阶矩阵，①求行列式；②若

3、，求的值.解：①各行减去第一行，再各列加到第一列，可得所以（7分）②若，则，得或但当时，，舍去.所以即为所求.（9分）2.求的逆矩阵.【评分说明】若方法正确，而计算出错，可酌情给分.解：对以下矩阵作初等行变换所以（9分）【注】也可利用伴随矩阵等方法计算.得分四、解答题（共2个小题，每题9分，共18分）1.设，分别求的值，使得等于，，.【评分说明】若方法正确，而计算出错，可酌情给分.解：对矩阵作初等变换化为阶梯形（5分）当且，即时，；当且，即时，；当且，即且时，.（9分）2.设向量组线性无关，判定下列向量组是否也线性无关？说明理由.，，解：因为，且（6分）所以可见线

4、性无关.（9分）【注】也可利用线性无关定义加以证明.P8P7装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号得分五、讨论题（15分）已知线性方程组讨论取什么值时该方程组有解?并用对应齐次方程组的基础解系表示原方程组的通解.【评分说明】若方法正确，而计算出错，可酌情给分.解：增广矩阵可见，当且仅当且时，有解；此时，有无穷多解.（8分）此时，同解方程组为（*）取，解得（*）的一个特解为（10分）对导出组取，得取，得取，得于是原方程组的通解是（为任意常数）（15分）得分六、证明题（共2个小题，第一题8分，第二题5分，共13分）1.设阶矩阵满足，为阶单位矩阵，证明：.证明：由，有，所

5、以（4分）另一方面，即证得结论.（8分）2.证明：如果阶可逆矩阵能对角化，那么逆矩阵也能对角化.证明：依题意，存在可逆矩阵，使得，（2分）且（3分）所以可见相似于对角矩阵，即证.（5分）【另证】依题意，有个线性无关的特征向量，设为则对，有，且（3分）从而P8P7装订线考生信息栏学院专业班级姓名学号说明也是的个特征向量且线性无关，即证能对角化.（5分）P8P7