绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（.doc

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1、绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（数学专业）考试时间：2006年5月13日下午2.00—5.00一、填空题（每一小题4分，满分20分）1．.2．广义积分.3．曲线的水平渐近线方程为.4．设函数在处连续，则.5．设函数由方程确定，则=.二、选择题（每一小题4分，满分20分）1．某些理发师留胡子，因此，某些留胡子的人是喜欢穿白衣。应该补充下列哪一前提，能使上述论证成立。（）（A）某些理发师喜欢穿白衣（B）某些喜欢穿白衣的理发师不留胡子（C）所有理发师都喜欢穿白衣（D）所有喜欢穿白衣的人都是理发师【】2．设函数可微，，则等于（A）.（B）（C）（D）【】3．设是奇函数，除外处处

2、连续，是其第一类间断点，则是（A）连续的奇函数.（B）连续的偶函数（C）在间断的奇函数（D）在间断的偶函数.【】4．设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D）【】5．设函数为已知可导奇函数，为的反函数，则（）。7（A）；（B）；（C）；（D）。【】三解答题（共8小题，满分60分）1．（6分）已知，其中由方程组确定，求。2．（6分）证明：当时有。3．（8分）试确定常数A，B，C的值使得，其中是当。74．（8分）设数列满足。(Ⅰ)证明存在,并求值；(Ⅱ)计算。5．（6分）。6．（8分）已知曲线的方程为，（Ⅰ）过点（-

3、1，0）引的切线，求切点，并写出切线的方程；（Ⅱ）求此切线与（对应于的部分）及轴所围成的平面图形的面积。77．（8分）设连续，且，是曲线在点处的切线在轴上的截距。（Ⅰ）求，并证明当时，等价；（Ⅱ）求。8．（6分）设在上可微，，，证明存在一点，使得。7绍兴文理学院第四届大学生数学竞赛试题（数学专业）参考解答和评分标准一．填空题（每一小题4分，满分20分）1．2；2．；3．；4．；5．二．选择题（每一小题4分，满分20分）1．（C）；2.（C）；3.（B）；4.（A）；5.（A）。三．解答题（共8小题，满分60分）1．（6分）解：。2．（6分）证：令，只需证明单调增加（严格），因

4、为，单调减少（严格），又，故单调增加（严格），。得证。3．（8分）解：泰勒公式代入已知等式得，整理得，比较两边同次幂函数得B+1=A①；C+B+=0②；③；式②-③得；代入①得，代入②得。4．（8分）解：(Ⅰ)由得，因此当有，即单调下降，又得有下界，这样存在，记=A，有(Ⅱ)为的，，75．（6分）解：原式=6．（8分）解：（I），得切线方程为，设，，则，得，点为（2，3），切线方程为。（II）设L的方程，则，由，由于（2，3）在L上，由，所以。77．（8分）解由导数的几何意义，曲线在点的切线为。求此切线在x轴上的截距：令，得，于是得到，，,所以,当时。由Taylor公式有，，

5、其中8．（6分）证：令。在上存在一点，使得。因此。于是在上对应用Roll定理，存在，使得，即使得。7