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1、绍兴文理学院2006年数学竞赛试卷（文科与专科）一、单项选择题（每小题3分，共12分）21．极限limsin(n+1π)（）n→∞A．等于1；B．等于－1；C．等于0；D．不存在．2．设f(x)在x=a的某邻域内有定义，则f(x)在x=a可导的充要条件是（）⎡⎛1⎞⎤f(a+h)−f(a−h)A．limh⎢f⎜a+⎟−f(a)⎥存在；B．lim存在；h→+∞⎣⎝h⎠⎦h→02hf(a+2h)−f(a+h)f(a)−f(a−h)C．lim存在；D．lim存在．h→0hh→0h3．设f(x)在[0,1]二阶可导，且f"(x)>0，则有（
2、）A．f'(1)>f'(0)>f(1)−f(0)；B．f'(1)>f(1)−f(0)>f'(0)；C．f(1)−f(0)>f'(1)>f'(0)；D．f'(1)>f(0)−f(1)>f'(0)．f(x)−f(a)4．设lim=−1，则在x=a处（）x→a(x−a)2A．f(x)取极大值；B．f(x)取极小值；C．f(x)可导；D．f(x)不可导．二、填空题（每小题4分，共16分）lnxx11．lim→+∞∫2dt=（）．xxlnt22ydy2．设方程lnx+y=arctan确定了隐函数y=y(x)，则=（）．xdx1arcsinx3
3、．2dx=（）．∫14x(1−x)⎛111⎞4．lim⎜++?+⎟=（）．n→∞⎝n+1n+2n+n⎠三、解答题（每小题8分，共48分）1n1．求极限：lim∫tt+3dt．n→∞02n−12x+ax+b2．设f(x)=lim为连续函数，求a,b的值．2nn→∞x+12+lnx3．计算：dx．∫2xlnx(1+xlnx)1f(x)4．设f(x)在(−∞,+∞)二阶可导，且f"(x)>0,f(0)≤0，求函数的单调区间．x3f(x)15．设f(x)在(0,+∞)可导，g(x)是f(x)的反函数，且∫g(t)dt=(x2−8)，求f(x
4、).136．一平面经过半径为r的圆柱体的底园中心，并与底面的交角为α，计算圆柱体被该平面截下的那部分体积．四、证明题（每小题8分，共24分）1．设f(x)在(a,b)连续，且x,x,?,x∈(a,b)，证明：存在ξ∈(a,b)，使得12n1f(ξ)=[f(x)+f(x)+?+f(x)]．12nn⎛1⎞2．设f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=f(1)=0,f⎜⎟=1，证明：存在ξ∈(0,1)，⎝2⎠使得f'(ξ)=1．3．设f(x),g(x)在[a,b]连续，且g(x)≠0，证明：存在ξ∈(a,b)，使b∫af(
5、x)dxf(ξ)=．b∫g(x)dxg(ξ)a绍兴文理学院2006年数学竞赛试卷（文科与专科）解答一、单项选择题1．C；2．D；3．B；4．A；x+y52二、填空题1．1；2．；3．π；4．ln2；x−y144三、解答题13n1．解：当0≤t≤1时，3≤t+3≤2，又lim∫t3dt=lim=0，n→∞0n→∞n+1121nnlim∫2tdt=lim=0，所以lim∫tt+3dt=0．n→∞0n→∞n+1n→∞0⎧ax+b,x<1⎪1⎪,x>1⎪x2．解：f(x)=⎨1(1+a+b),x=1⎪2⎪1⎪(−1−a+b),x=−1⎩2f
6、(−1−0)=−1，f(−1+0)=−a+b，f(1−0)=a+b，f(1+0)=1，a=0，b=1．222+lnx(2+lnx)lnxd(xlnx)3．解：dx=dx=∫2∫22∫22xlnx(1+xlnx)xlnx(1+xlnx)xlnx(1+xln)22=lnxlnx−ln1+xlnx+c．df(x)xf'(x)−f(x)4．解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，有=，令2dxxxF(x)=xf'(x)−f(x)，则F(0)=−f(0)≥0，F'(x)=xf"(x)，故当x<0时，F'(x)<0，f(x)当x>0时，F
7、'(x)>0，从而F(x)>F(0)≥0，即在(−∞,0)∪(0,+∞)单调增．x115．解：由已知得g[f(x)]f'(x)=x，即f'(x)=，故f(x)=x+c．22x2226．解：设圆柱的底面方程为x+y=r，平面与圆柱底面的交线为x轴，垂直于x轴的1平面截几何体的截面为直角三角形，其面积为S=y⋅ytanα，因而所求的体积为21r2223V=∫−(r−x)tanαdx=rtanα．2r3四、证明题1．证明：不妨设x≤x≤?≤x，且x8、大值，最小值分别为M，m，于是m≤f(x)≤M,i=1,2,?,n，12i1从而m≤[f(x)+f(x)+?+f(x)]≤M，据连续函数的介值性质，存在ξ∈(a,b)，12nn1使得f(ξ)=[f(x)+f(x)+?+f(x)]．12
