2、 )A.±32B.±23C.±12D.±2答案 A 将直线与椭圆方程联立得y=kx,x24+y23=1,化简整理得(3+4k2)x2=12,(*)因为分别过A,B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为±1,代入方程(*),得k=±32.故选A.3.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( )A.有且只有一条B.有且只有两条C.有且只有三条D.有且只有四条答案 B ∵2p=2,
3、AB
4、=x1+x2+p,∴
5、AB
6、=3>2p,故这样的直线有且只有两条.4.已知直线y=22(x-1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两
7、点,点M(-1,m),若MA·MB=0,则m等于( )A.2B.22C.12D.0答案 B 由题意可得y2=4x,y=22(x-1),8x2-20x+8=0,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,则A(2,22),B12,-2.由MA·MB=0,M(-1,m),可得(3,22-m)·32,-2-m=0.化简2m2-22m+1=0,解得m=22.故选B.5.抛物线C的顶点为原点,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A,B两点,若P(1,1)为线段AB的中点,则抛物线C的方程为( )A.y=2x2B.y2=2xC.x2=2yD.y2=-2x答案 B 设A(x1,y1),
8、B(x2,y2),抛物线方程为y2=2px(p>0),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减可得2p=y1-y2x1-x2×(y1+y2)=kAB×2=2,可得p=1,∴抛物线C的方程为y2=2x.6.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于 . 答案 -13解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y=x-1,代入椭圆方程x22+y2=1,并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点的坐标分别为(0,-1),43,13,所以OA·OB=-13,同理,直线l经过椭圆
9、的左焦点时,也可得OA·OB=-13.7.若椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1,则这个椭圆的方程为 . 答案 y212+x28=1解析 因为椭圆的中心在原点,一个焦点为(0,2),所以a2-b2=4,所以可设椭圆方程为y2b2+4+x2b2=1,联立得y=3x+7,y2b2+4+x2b2=1,得(10b2+4)y2-14(b2+4)y-9b4+13b2+196=0,设直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系及题意得y1+y2=14(b2+4)10b2+4
10、=2,解得b2=8.所以a2=12.所以椭圆的方程为y212+x28=1.8.如图,过抛物线y=14x2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四点,则AB·DC= . 答案 -1解析 不妨设直线AB的方程为y=1,联立得y=1,y=14x2,解得x=±2,则A(-2,1),D(2,1),因为B(-1,1),C(1,1),所以AB=(1,0),DC=(-1,0),所以AB·DC=-1.9.(2018贵州贵阳质检)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,离心率为12,左,右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点.(1
11、)求椭圆C的方程;(2)当△F2AB的面积为1227时,求直线的方程.解析 (1)因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点1,32,所以1a2+94b2=1.①又因为离心率为12,所以ca=12,所以b2a2=34.②联立①②解得a2=4,b2=3.所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线的倾斜角为π2时,A,B点的坐标为-1,32,-1,-32,则S△ABF2=12
12、AB
13、·
14、F1F2
15、=12×3×2=3≠1227.当直线的倾斜角不
