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《（通用版）2020版高考数学大二轮复习大题专项练（三）立体几何理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、大题专项练(三) 立体几何A组 基础通关1.如图,在三棱锥A-BCD中,△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,点P是AC的中点,连接BP,DP.(1)证明:平面ACD⊥平面BDP;(2)若BD=6,且二面角A-BD-C为120°,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.(1)证明因为△ABC是等边三角形,∠BAD=∠BCD=90°,所以Rt△ABD≌Rt△CBD,可得AD=CD.因为点P是AC的中点,则PD⊥AC,PB⊥AC,因为PD∩PB=P,PD⊂平面PBD,PB⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD.因为
2、AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDP.(2)解方法一:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC=120°.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=3AE,因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=3AE.在Rt△ABD中,有12AE·BD=12AB·AD,得BD=3AD,因为BD=6,所以AD=2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=233,ED
3、=63.由CE⊥BD,AE⊥BD可知BD⊥平面AEC,则平面AEC⊥平面BCD.过点A作AO⊥CE,交CE的延长线于O,则AO⊥平面BCD.连接OD,则∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.在Rt△AEO中,∠AEO=60°,所以AO=32AE=1,sin∠ADO=AOAD=22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22.方法二:如图,作CE⊥BD,垂足为E,连接AE.因为Rt△ABD≌Rt△CBD,所以AE⊥BD,AE=CE,∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.由已知二面角A-BD-C为120°,知∠AEC
4、=120°.在等腰三角形AEC中,由余弦定理可得AC=3AE,因为△ABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=3AE.在Rt△ABD中,有12AE·BD=12AB·AD,得BD=3AD,因为BD=6,所以AD=2.又BD2=AB2+AD2,所以AB=2.则AE=233,ED=63.以E为坐标原点,以向量EC,ED的方向分别为x轴,y轴的正方向,以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,则D0,63,0,A-33,0,1,向量AD=33,63,-1,平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1)
5、,设直线AD与平面BCD所成的角为θ,则cos=m·AD
6、m
7、
8、AD
9、=-12×1=-22,sinθ=
10、cos
11、=22.所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为22.2.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面ABB1A1为菱形,A1C=BC.(1)求证:A1B⊥平面AB1C;(2)若∠ABB1=60°,∠CBA=∠CBB1,AC⊥B1C,求二面角B-AC-A1的余弦值.(1)证明因为侧面ABB1A1为菱形,所以A1B⊥AB1,记A1B∩AB1=O,连接CO,因为A1C=BC,BO=A1O,
12、所以A1B⊥CO,又AB1∩CO=O,所以A1B⊥平面AB1C.(2)解方法一:因为∠CBA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以△CBA≌△CBB1,所以AC=B1C.又O是AB1的中点,所以CO⊥AB1,又A1B⊥CO,A1B∩AB1=O,所以CO⊥平面ABB1A1.令BB1=2,因为AC⊥B1C,O为AB1的中点,所以CO=1.如图,以O为坐标原点,OB所在的直线为x轴,OB1所在的直线为y轴,OC所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,0,1)
13、,A1(-3,0,0),AB=(3,1,0),AC=(0,1,1),AA1=(-3,1,0),A1C=(3,0,1).设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),则n1·AB=0,n1·AC=0,即3x+y=0,y+z=0,令x=1,则n1=(1,-3,3),同理可得平面A1AC的一个法向量为n2=(1,3,-3).cos=n1·n2
14、n1
15、
16、n2
17、=-57,由图知二面角B-AC-A1为钝角,所以二面角B-AC-A1的余弦值为-57.方法二:因为∠CBA=∠CBB1,AB=BB1,BC=BC,所以△CB
18、A≌△CBB1,所以AC=B1C.设AB=2,因为∠ABB1=60°,侧面ABB1A1为菱形,所以AA1=AB1=2,OA=OB1=1,OB=OA1=3.又AC⊥B1C,所以CO=1,AC=B1C=2,又A1C=BC,O为A1B的中点,所以BC=A1C=2,所以△ABC为等腰三角形,△A1AC为等腰三角形.如图,取AC的中点M,连接BM,A1M
