椭圆、双曲线、抛物线练习题.doc

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1、.精讲精练【例】以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.解：抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为【例】双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，

2、OP

3、＜5,

4、PF1

5、,

6、F1F2

7、,

8、PF2

9、成等比数列，则b2=_________。解：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y)，则

10、PF1

11、2+

12、PF2

13、2=2(

14、PO

15、2+

16、F1O

17、2)＜2(52+c2)，即

18、PF1

19、2+

20、PF2

21、2＜50+2c2，又∵

22、PF1

23、2+

24、PF2

25、2=(

26、PF1

27、－

28、

29、PF2

30、)2+2

31、PF1

32、·

33、PF2

34、，依双曲线定义，有

35、PF1

36、－

37、PF2

38、=4，依已知条件有

39、PF1

40、·

41、PF2

42、=

43、F1F2

44、2=4c2∴16+8c2＜50+2c2，∴c2＜,又∵c2=4+b2＜，∴b2＜，∴b2=1。【例】当取何值时，直线：与椭圆相切，相交，相离？解：①代入②得化简得当即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相交；当，即或时，直线与椭圆相离。【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，

45、MF

46、的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2

47、，且

48、M1M2

49、=，试求椭圆的方程。解：

50、MF

51、max=a+c，

52、MF

53、min=a－c，则(a+c)(a－c)=a2－c2=b2，..∴b2=4，设椭圆方程为①设过M1和M2的直线方程为y=－x+m②将②代入①得：(4+a2)x2－2a2mx+a2m2－4a2=0③设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，M1M2的中点为(x0，y0)，则x0=(x1+x2)=，y0=－x0+m=。代入y=x，得，由于a2＞4，∴m=0，∴由③知x1+x2=0，x1x2=－，又

54、M1M2

55、=，代入x1+x2，x1x2可解a2=5，故所求椭圆方程为：=

56、1。【例】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，

57、PQ

58、=，求椭圆方程。解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0，n＞0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0，Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0，即m+n－mn＞0，由OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0，即2x1x2+(x1+x2)+1=0，∴+1=0，∴m+n=2①又22，将m+n=2，代入得m·n=②由①、②式得m=，n=或m=，n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1。【例】已知

59、圆C1的方程为，椭圆C2的方程为，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。..解：由设椭圆方程为设又两式相减，得又即将由得解得故所有椭圆方程【例】过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程。..解法一：由e=，得，从而a2=2b2，c=b。设椭圆方程为x2+2y2=2b2，A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上。则x12+2y

60、12=2b2，x22+2y22=2b2，两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0，设AB中点为(x0，y0)，则kAB=－，又(x0，y0)在直线y=x上，y0=x0，于是－=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1。右焦点(b，0)关于l的对称点设为(x′，y′)，由点(1，1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2，b2=。∴所求椭圆C的方程为=1，l的方程为y=－x+1。解法二：由e=，从而a2=2b2，c=b。设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2，l的方程为y=k(x－1)，将l的方程代入C的方程，得(

61、1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0，则x1+x2=，y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－。直线l：y=x过AB的中点()，则，解得k=0，或k=－1。若k=0，则l的方程为y=0，焦点F(c，0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1)，即y=－x+1，以下同解法一。解法三：设椭圆方程为..直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，，，，，，，，，，，，，则，，，，所以所求的椭圆方程为：【例】如图，

62、已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程。..解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为=1(a＞0