2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题5-3：平面向量的数量积（讲）含解析.doc

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1、专题5.3平面向量的数量积1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。知识点一向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤≤180°或θ＝⇔a∥b，θ＝90

2、°⇔a⊥b知识点二平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影

7、a

8、cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

9、b

10、cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度

11、a

12、与b在a的方向上的投影

13、b

14、cosθ的乘积知识点三向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)知识点四平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角

15、为θ.结论几何表示坐标表示模

16、a

17、＝

18、a

19、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

20、a·b

21、与

22、a

23、

24、b

25、的关系

26、a·b

27、≤

28、a

29、

30、b

31、

32、x1x2＋y1y2

33、≤知识点五必备结论1．平面向量数量积运算的常用公式：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立(因为a与b夹角为0时不成立)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立(因为a与b

34、夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积【典例1】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，

35、

36、＝1，则·＝(　　)A．－3B．－2C．2D．3【答案】C【解析】因为＝－＝(1，t－3)，所以

37、

38、＝＝1，解得t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.【举一反三】(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足

39、a

40、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4　　　　　　　　　B.3C．2D．0【答案】B　【解析】a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2

41、a

42、2－a·b.∵

43、a

44、＝

45、1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.【方法技巧】求非零向量a，b的数量积的方法技巧直接法若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算几何法根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解坐标法若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解【变式1】(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，

46、＝2，＝2，则·的值为(　　)A.－15B.－9C.－6D.0【答案】C【解析】连接OA.在△ABC中，＝－＝3－3＝3(－)－3(－)＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3×(2×1×cos120°－12)＝3×(－2)＝－6.考点二平面向量的模【典例2】(2019·湖南省衡阳八中模拟)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则

47、＋3

48、的最小值为________.【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1

49、，b).所以＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，所以

50、＋3

51、＝(0≤y≤b)，所以当y＝b时，

52、＋3

53、取得最小值5.【答案】5【方法技巧】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用

54、a

55、＝及(a±b)2＝

56、a

57、2±2a·b＋

58、b

59、2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.【变式2】(20

60、19·吉林省长春一中质检)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且

61、a

62、＝

63、b

64、＝1，

65、c

66、＝3，则

67、a＋b＋c

68、＝________.【答案】2【解析】由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以

69、a＋b＋c

70、2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos＋2×1×3×cos＋2×1×3×co