全国初中数学竞赛辅导(初3) 第19讲 平面几何中的几个著名定理.doc

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1、第十九讲*平面几何中的几个著名定理　　　几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些

2、定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理．　　1．梅内劳斯定理　　亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．　　定理一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则　　证过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得　同理　　将这三式相乘，得　　　　　

3、　　　　　说明(1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，仍然成立．　　(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果　　　　　　　　　　　　　　那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线．　　例1已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相

4、交于D，求证：D，E，F共线．证如图3－99有　　　　　　　　　　　相乘后得　　　　　　　由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．　　　例2(戴沙格定理)在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．　　　　证如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得将这三式相乘得　　　　　　　所以D，E，F共线．　　　2．塞瓦定理　　意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678

5、年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．　　定理在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则　　　　证如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则　由于△BHD∽△CKD，所以　　　　　　　　　　　　同理可证　　　　　将这三式相乘得　　　　　　　　　　　说明(1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为BD×CE×AF=DC×EA×FB，仍然成

6、立．　　(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”　　　证如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得　　　　　　　　　　　　　　　所以F′B=FB，即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点．　　塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．　　例3求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．　　证(1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则　由塞瓦定理的

7、逆定理得中线AD，BE，CF共点．　　(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点．　　(3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．　　(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有　　　　　　　　BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc，　　　　　　　　EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB，所以　　　　　　　由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF

8、共点．　　(ii)当△ABC是钝角三角形时，有BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC，EA=ccos(180°-A)=-ccosA，AF=bcos(180°-A)=-bcosA,FB=acosB，所以　　　　　　　　由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．