全国初中数学竞赛辅导(初3)第27讲 自测题.doc

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1、自测题自测题一　　　1．已知a2+4a+1=0，并且　　　　　　　　　　　　求m的值．　　2．已知不等式ax+3≥0的正整数解为1，2，3，求a的取值范围．　　3．已知方程组的两组解是(x1，y2)与(x2，y2)，求x1y2+x2y1的值．　　4．设a+b+c=a2+b2+c2=2，证明：　　　　　　　　a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2．　　5．在△ABC中，AC=24，BC=10，AB=26，则它的内切圆半径等于多少？　　　　6．如图3-169．AD是⊙O的切线，D是切点，AB

2、C是⊙O的割线，交⊙O于B，C，DE⊥AO于E，求证：∠AEB=∠ACO．7．过△ABC内部任一点P分别作BC，CA，AB边的平行线，设它们与另外两边的交点分别是D，E，　　　8，如图3-170．AB是半圆的直径，CD是半圆的切线，切点为D，AC⊥CD于C，交半圆于F，DE⊥AB于E．求证：DE2=AC·FC．　　9．城市A位于一条铁路线上而附近的一个小镇B需要从A市购进大量生活、生产用品．如果铁路运费是公路运费的一半，试问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费最低？自测题二　　　　1

3、．已知3a+b+2c=3，且a+3b+2c=1，求2a+c的值．　　2．84能否表示成若干个连续正整数的和的形式？如果不能，请给出证明．如果能，则给出所有的表示方法．　　　　3．(1)有△ABC，过边BC上一点P作PQ∥AB交AC于Q，作QR∥BC交AB于R，作RS∥AC交BC于S，作ST∥AB交AC于T，作TU∥BC交AB于U，如果过U作AC的平行线是否过P(图3-171)？　　(2)如果通过P，设△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，试用a，b，c表示折线PQRSTUP的长度．　　4．圆

4、O内有AB，l1，l2分别是以A，B为切点的⊙O的切M．求证：PS2=PN·PM(图3-172)．　　　　5．证明不存在两个这样的既约分数，它们的和与积均为整数．　　6．若正整数p，q，r使得二次方程　　　　　　　　　　px2-qx+r=0的两个根α，β满足O＜α＜β＜1，求p的最小值．　　7．已知半径为r的圆上有一个定点P，过P作圆的切线l，过圆上一动点R引RQ⊥l于Q，求△PQR面积的最大值．　　8．在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：b+c≤2R(其中R为△ABC外接圆半径)．　　9．

5、在12小时内，时针与分针有多少个时刻在一条直线上？自测题三　　　　1．已知实数a，b，c满足a2-a-bc+1=0，①2a2-2bc-b-c+2=0，②求证：a≥1．　　2．若a＞0，且b＞a＋c，求证：方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根．　　3．一元二次方程x2+px=19=0的两个根恰好比方程x2-Ax+B=0的两个根分别大1，其中A，B，p都是整数，求A+B的值．　　4．已知实数x0，y0是方程组的解，求x0+y0的值．　　　5．如图3-173．AD是△ABC的角平分线，∠ADC=

6、α，AD2=BD·DC．求证：cosA=cos2α．　　6．设α为锐角，且α≠45°，若试写出tgα，ctgα为两根的一元二次方程．　　7．在△ABC中，∠A是直角，AD⊥BC于D，AT是∠A的平分线，Ol，O2分别是△ABD和△ACD的内心．求证：AT⊥O1O2(图3-174)．　　8．已知⊙O为定圆，△ABC内接于圆，且AB=AC，AD为底边BC上的高．试问BC为何值时，AD+BC的值最大(图3-175)？　　　　9．从不同地区的甲、乙和丙三个工厂分别运出某种设备12套、10套和12套，给A

7、市20套，B市14套．已知从甲厂调运一套设备到A市、B市的运费分别为200元和600元；从乙厂调运一套设备到A市、B市的运费分别为300元和700元；从丙厂调运一套设备到A市、B市的运费都是400元．试问从甲、乙、丙各工厂向A市、B市分别调运多少套设备时，使总运费最省？自测题四　　0的两根都是有理数．　　2．已知方程│x4-a-1=0有4个实根，求实数a的取值范围．　　叠，使A点与C点重合，折痕为PG，P在AB边上，G在CD边上，求PG的长．　　4．使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大

8、值是多少？　　5．过⊙O的O点引割线PQ，使PO=OQ，过P引⊙O的割线交⊙O于C，D，过Q引⊙O的切线，切点为B，连BC交PQ于E，连BD交PQ于F．求证：OE=OF(图3-176)．　　　　　7．直角△ABC中，AC+BC=144厘米，CD⊥AB，CD=4.8厘米(3-177)．求△ABC内切圆半径和外接圆半径．　　　　8．如图3-178，I是△ABC的内心，IA=l，IB=m，IC=n，求证：al2+bm2+cn2=abc．　　9．有一批长为60厘米的铝合金材料，现要截成24厘米和7厘米的