全国初中数学竞赛辅导(初1)第22讲生活中的数学(1)

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1、第二十二讲生活中的数学(一)——储蓄、保险与纳税  储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题,几乎人人都会遇到,因此,我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识,以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力.  1.储蓄  银行对存款人付给利息,这叫储蓄.存入的钱叫本金.一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率.本金加上利息叫本利和.利息=本金×利率×存期,本利和=本金×(1+利率经×存期).  如果用p,r,n,i,s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和,那么有i=prn,s=p(1+rn).  例1设年利率为0.0171,某人存入银行2000元,3年后得

2、到利息多少元?本利和为多少元?  解i=2000×0.0171×3=102.6(元).  s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元).  答某人得到利息102.6元,本利和为2102.6元.  以上计算利息的方法叫单利法,单利法的特点是无论存款多少年,利息都不加入本金.相对地,如果存款年限较长,约定在每年的某月把利息加入本金,这就是复利法,即利息再生利息.目前我国银行存款多数实行的是单利法.不过规定存款的年限越长利率也越高.例如,1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22.1所示.  用复利法计算本利和,如果设本金是p元,年利率是r,存期是n年

3、,那么若第1年到第n年的本利和分别是s1,s2,…,sn,则  s1=p(1+r),  s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2,  s3=s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3,  ……,  sn=p(1+r)n.  例2小李有20000元,想存入银行储蓄5年,可有几种储蓄方案,哪种方案获利最多?  解按表22.1的利率计算.  (1)连续存五个1年期,则5年期满的本利和为20000(1+0.0522)5≈25794(元).  (2)先存一个2年期,再连续存三个1年期,则5年后本利和为20000(1+0.0558×2)·(1+0.052

4、2)3≈25898(元).  (3)先连续存二个2年期,再存一个1年期,则5年后本利和为20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元).  (4)先存一个3年期,再转存一个2年期,则5年后的本利和为20000(1+0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元).  (5)先存一个3年期,然后再连续存二个1年期,则5年后本利和为20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元).  (6)存一个5年期,则到期后本利和为20000(1+0.0666×5)≈26660(元).  显然,第六种方案,获利最多,可见

5、国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案,利率是合理的.  例3小华是独生子女,他的父母为了给他支付将来上大学的学费,从小华5岁上小学前一年,就开始到银行存了一笔钱,设上大学学费每年为4000元,四年大学共需16000元,设银行在此期间存款利率不变,为了使小华到18岁时上大学本利和能有16000元,他们开始到银行存入了多少钱?(设1年、3年、5年整存整取,定期储蓄的年利率分别为5.22%,6.21%和6.66%)  解从5岁到18岁共存13年,储蓄13年得到利息最多的方案是:连续存两个5年期后,再存一个3年期.  设开始时,存入银行x元,那么第一个5年到期时的本利

6、和为x+x·0.0666×5=x(1+0.0666×5).  利用上述本利和为本金,再存一个5年期,等到第二个5年期满时,则本利和为x(1+0.0666×5)+x(1+0.0666×5)·0.0666×5=x(1+0.0666×5)2.  利用这个本利和,存一个3年定期,到期时本利和为x(1+0.0666×5)2(1+0.0621×3).这个数应等于16000元,即x(1+0.0666×5)2·(1+0.0621×3)=16000,  所以1.777×1.186x=16000,  所以x≈7594(元).  答开始时存入7594元.  2.保险  保险是现代社会必不可少的一种

7、生活、生命和财产保护的金融事业.例如,火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险,人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险,等等.下面举两个简单的实例.  例4假设一个小城镇过去10年中,发生火灾情况如表22.2所示.  试问:(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家?  (2)如果保户投保30万元的火灾保险,最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本?  解(1)因为  1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家),  365+371+385+395+412+418+430+435+440+445=4096

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