高数A(下)总复习(同济六版)-cxz.doc

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1、《高等数学》(下册)期末总复习一、向量代数与空间解析几何（一）向量代数1、点向量；2、点向量；3、向量运算及其坐标形式：设，则；（为数）；；，；以向量和为邻边的平行四边形面积公式：（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）；；；；.（二）曲面、空间曲线及其方程1、曲面及其方程，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作图.(主要要求认识

2、空间图形)2、空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程；3、曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投便消去，其余类似4、会作简单立体图形（三）平面方程与直线方程：1、平面方程1）一般方程：，其中为其一法向量．2）点法式方程：法向量，点，则．3）截距式方程：4）平面束方程：过直线的平面束方程为：过该直线的除第2个平面的所有平面.11第11页共11页2、直线方程1）点向式方程：方向向量，点，则；2）参数式方程：（注：主要用于求交点坐标）；3）一般式方程：3、面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便

3、转化为向量之间的夹角4、距离点到面的距离：点到线的距离：，其中为直线的方向向量，为直线上任意一点．或取直线参数方程以确定垂足坐标，利用两点距离公式可求主要题型（1）向量数量积的运算：主要利用定义式、交换律、结合律和分配律；（2）求解直线方程和平面方程：把握方向向量和法向量，或用平面束方程.二、多元函数的微分学及其应用(一)极限与连续二重极限常用求法：夹逼准则、等价无穷小、有理化，不可用洛必达法则；注：可用特殊方向法来证极限不存在连续性①一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的；②有界闭区域上的连续函数必有最值.(二)偏导数注

4、：重点掌握定义法求偏导1、显函数：a．定义：，定义类似；b．求导法则：对求偏导，暂时视为常量；对求偏导，暂时视为常量c．高阶偏导数：；定理：二阶混合偏导在其连续时相同.d．复合函数的求导法则（链式法则）：若具有连续偏导数，而与都具有偏导数，则复合函数的偏导数为：；注意：①解题时，要注意偏导数以及导数的写法，并按顺序遍历每一个中间变量；②等都具有相同的中间变量.2、隐函数（要诀：两边同时对自变量求导；一个方程确定一个因变量）1.一个方程的情形：二元方程可确定一个一元隐函数：11第11页共11页三元方程可确定一个二元隐函数：1.

5、方程组的情形：三元方程组确定两个一元隐函数：四元方程组可确定两个二元隐函数：得（或）(三)全微分：可微函数的全微分为：.定义为：，其中掌握某点处全微分存在之证明：计算，证明是否趋近于0，其中为该点处的两个偏导数.(四)几何应用（重点把握切向量和法向量）1．曲线的切线与法平面：a、若曲线的方程为参数方程：，点，则切向量为，切线方程为；法平面方程为b、若曲线的方程为：，点，则切向量为c、若曲线的方程为一般方程：，点，则切向量为（利用隐函数求导法，方程两边对求导，解方程组可得）．(注：该法有可能无解，无解时需改换其它自变量求导)【

6、另解：利用三阶行列式计算】2．曲面的切平面与法线：a、若曲面的方程为，点，则法向量为：，切平面方程为：；11第11页共11页法线方程为：a、若曲面的方程为，点，则法向量为：，切平面方程为：；法线方程为：(五)方向导数与梯度：（以二元函数为例）1）、方向导数：设可微分，，则2）梯度：，沿梯度方向，方向导数取得最大值，该值即为梯度的模.(六)极值：1)无条件：设，由解得驻点，令，然后利用判定极值与否：有极值，极小，极大；无极值；用此法无法判定．2)条件极值：在条件下的极值：构造拉格朗日函数，令，联立方程，其解为可能的极值点．是否

7、为极值点，一般可由问题的本身性质来判定．3)闭区域上最值问题：内部区域通过令一阶偏导为零得驻点；边界通过代入法或拉格朗日乘数法求可疑点.三、积分的计算与应用(一)二重积分a、直角坐标：注（1）利用任意平移的穿越线法来确定积分顺序及积分上下限；先对求积分，则画平行于轴的穿越线（2）若积分区域不只需一条穿越线，则适当分割之；（3）通过二重积分，可交换二次积分的积分顺序，这是一类常考的题型．b、极坐标：，注（1）被积函数或积分区域中含有的都可以考虑极坐标法(2)积分顺序：；（2）先确定的范围，后固定11第11页共11页，选取从极点

8、出发的穿越线来确定.(注：此处的穿越线为一条由极点出发的射线，可绕极点任意旋转)c、对称性(1)奇偶对称性：若积分区域关于轴对称，，则①当是关于的奇函数，有；②当是关于的偶函数，有.(2)轮换对称性：若积分区域关于直线对称，则.d、应用平面面积；曲顶柱体体积；注：求立体体积，并一定要画出立