高数同济六版D10-总复习

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1、总复习一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用第十章重积分的计算及应用二重积分的定义1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法二重积分计算的基本方法(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:若积分区域为则若积分区域为则则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不

2、等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式定义.设存在,称为体积元素,若对作任意分割:任意取点则称此极限为函数在上的三重积分.在直角坐标系下常写作三重积分的性质与二重积分相似.性质:例如下列“乘中值定理.在有界闭域上连续,则存在使得V为的体积,积和式”极限记作1.利用直角坐标系计算三重积分方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次积分”具体计算时应根据三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择.2.利用柱坐标计算三重积分就称为点M的柱坐标.直角坐标与柱面坐标

3、的关系:在柱面坐标系中体积元素为因此其中适用范围:1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.3.利用球坐标计算三重积分就称为点M的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为球面半平面锥面如图所示,在球面坐标系中体积元素为因此有其中适用范围:1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1.交换积分顺序的方法2.利用对称性或质心公式简化计算3.消去被积函数绝对值符号*5.利用重积分换元公式4.利用扩展

4、积分域进行计算三、重积分的应用1.几何方面面积(平面域或曲面域),体积,形心质量,转动惯量,质心,引力证明某些结论等2.物理方面3.其它方面1、立体体积曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为占有空间有界域的立体的体积为2、曲面的面积设光滑曲面则面积A为若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为则有若光滑曲面方程为隐式则且3、物体的质心则得形心坐标：(A为D的面积)得D的形心坐标:4、物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数因此物体对z轴的转动惯量:对x轴的转动惯量对y轴的转动惯量对原点的转动惯量如果物体是平面

5、薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于点P0(x0,y0,z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力分量为其中:G为引力常数若求xOy面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量,则上式改为D上的二重积分,密度函数改为即可,