数列难题突破之裂项与放缩.docx

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1、数列难题突破之裂项与放缩裂项与放缩是高考数列题常用技巧主要有以下3类应用1．裂项法求和2．裂项、放缩证明求和不等式3．放缩证明连乘不等式裂项法求和一个最简单的裂项求和的例子1111122334n(n1)【例1】已知等差数列{an}满足：a37,a5a726.设bn1*),求bn的前n项和Tn.2(nNan1【例2】设数列{an}为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的nN*，有111na1a2a2a3anan1.a1an1裂项法求和小结回顾：1111223n(n1)1111335(2n1)(2n1

2、)111a1a2a2a3anan1裂项、放缩法证明求和不等式【例3】证明：1111112n12232n21【例4】已知数列{an}与{bn}满足bnanan1bn1an20;bn3(1)n,nN*,2n4nS7且a12,a24，设Sna2k,求证：k.k1akk16和式不等式小结回顾：放缩去“凑”裂项形式111a1a2a2a3★anan1连乘不等式的证明【例5】求证：132n111242n2n【例6】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的nN*，点(n,Sn)均在函数ybxr（b0且b1,

3、b,r均为常数）的图像上.(II)当b2时，记bn2(log2an1)(nN*).求证：b11b21bn1n1(nN*)b1b2bn总结：11111．裂项求和：()★akak1dakak12．求和不等式：放缩可裂项3．连乘不等式：·配上“错一位”的连乘式可消去·选择“错位”方向2课后作业【习题1】求和141114797100【习题2】求证:111111.1.522.523.52(n0.5)2n【习题3】求证：2583n133n1.1473n2分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因

4、此本题应当配上两个“错一位”的连乘式.答案【习题1】解：1111447971001(11)1(11)1(11)3143473971001(11)333100100【习题2】分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩11(k0.5)2.k(k1)证：11111.522.523.52(n0.5)21111122334n(n1)11n3【习题3】解：设A2583n13693n，C47103n11473n2，B583n3693n，则21ABC3n1，由A,B,C0知，只需证AB,AC就有A33n

5、1成立。只需要证明对任意k1,2,3,n，连乘式A中的第k项大于B和C的第k项，只需要证:3k13k3k1此不等式的每项减去1，即12111，显然成立，3k23k13k3k3k3k故原不等式成立。4