2020版高中数学第三章不等式3.1.1不等关系与不等式学案含解析新人教B版必修5.docx

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1、3.1.1　不等关系与不等式学习目标　1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.学会用作差法比较两实数的大小．知识点一　不等关系与不等式的概念1．用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．2．符号“≥”和“≤”的含义：如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b；a≤b即为a

2、⇒q，读作“p推出q”．2．如果p⇒q，且q⇒p都是正确的命题，则记为p⇔q，读作“p等价于q”或“q等价于p”．知识点三　作差法作差法的理论依据：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a

3、可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解　提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20(x≥2.5)．反思感悟　数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范．跟踪训练1　(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．

4、设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．答案　4.5t<28000解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28000.(2)配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N)，请写出x，y所满足的不等关系．解　根据题意可得题型二　作差法的应用命题角度1　作差法比较大小例2　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与

5、a2b＋ab2的大小．解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2．综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2．反思感悟　比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形

6、式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练2　已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，∵＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)＜0，∴x3－1＜2x2－2x．命题角度2　作差法证明不等式例3　证明函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．证明　任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)＝(x1－x2)．因

7、为x1＜x2，所以x1－x2＜0，又2＋x＞0，所以(x1－x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，所以f(x1)＜f(x2)．所以函数f(x)＝x3(x∈R)为增函数．反思感悟　有时证明a＞b不易，可以转为证明其等价命题a－b＞0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决．跟踪训练3　若a＞b，ab＞0，求证：＜．证明　－＝．∵a＞b，∴b－a＜0．又ab＞0，∴＜0，即－＜0，∴＜．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业

8、成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是(　　)A．B．C．D．答案　D解析　“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45．2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(