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1、第三讲用空间向量的方法解立体几何问题一、主干知识空间直线、平面间的平行、垂直的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).平面α，β的法向量分别为＝(a3,b3,c3),=(a4,b4,c4).(1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a=kb⇔___________________.a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b=__⇔_______________.(3)线面平行：l∥α⇔a⊥⇔a·=__⇔_______________.(4)线面垂直
2、：l⊥α⇔a∥⇔a=k⇔___________________.(5)面面平行：α∥β⇔∥⇔=k⇔___________________.0a1a2+b1b2+c1c2=00a1a3+b1b3+c1c3=0a1=ka3,b1=kb3,c1=kc3a3=ka4,b3=kb4,c3=kc4(6)面面垂直：α⊥β⇔⊥⇔·=__⇔_______________.0a3a4+b3b4+c3c4=0二、必记公式1.异面直线所成的角：设a,b分别为异面直线a,b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cosθ=_________.2.线面
3、角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角满足sinθ=_________.3.二面角：(1)如图①，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ=_________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=______________________________.-cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉1.(2013·金华模拟)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则
4、AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()【解析】选A.建立如图所示空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，A(0，-1,0)，则O(0,0,0)，则为侧面ACC1A1的法向量，2.(2013·宁波模拟)ABCD是正方形，PA⊥平面AC，且PA＝AB，则二面角B-PC-D的度数为()A.60°B.90°C.120°D.135°【解析】选C.由题意可得，AP,AB，AD两两垂直，所以可建立如图所示的空间直角坐标系.令AB=1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，所以
5、设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则得令x=1，则z=1,y=0,所以n＝(1,0,1).同理可得平面PBC的法向量m=(0,1,1).所以所以=60°.从图中可以看出：二面角B-PC-D的大小应为一个钝角.所以二面角B-PC-D的度数=180°-60°=120°.故选C.3.(2013·嘉兴模拟)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()【解析】选A.设AB＝1，则AA1＝2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
6、则D(0，0，2)，C1(0，1，0)，B(1，1，2)，C(0，1，2)，设n=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量，则即取n=(-2,2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ，则4.(2013·福州模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为________.【解析】建立空间直角坐标系如图所示，易得所以所以所以即AB1⊥A1M.答案:90°热点考向1利用空间向量求线线角、线面角【典例1】(2013·绍兴模拟)如图，四边形A
7、BCD为正方形，BE⊥平面ABCD，EB∥FA，FA＝AB＝(1)证明：平面AFD⊥平面AFB.(2)求异面直线ED与CF所成角的余弦值.(3)求直线EC与平面BCF所成角的正弦值.【解题探究】(1)本题要证明平面AFD⊥平面AFB，可证AD⊥平面AFB，只需证明AD⊥AB，AD⊥FA.(2)以B为原点，BE，BA，BC分别为x,y,z轴能建立空间直角坐标系吗？提示：能.(3)＝(-2，0，1)，平面BCF的法向量n＝(1，-1，0).【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形，所以AD⊥AB，因为BE⊥平面ABCD，EB
8、∥FA，所以FA⊥平面ABCD.因为AD⊂平面ABCD，所以FA⊥AD，因为AB，FA⊂平面AFB，AB∩FA=A,所以AD⊥平面AFB，因为AD⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面AFB.(2)以B为原点，BE，BA，BC分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设EB＝2，则AF＝AB＝1，故E(2，0，0)，D(0，
