2018-2019高中数学第3章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修1-1.docx

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1、第3章导数及其应用1　巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用.那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明.1.函数和(或差)的求导法则(f(x)±g(x))′＝f′(x)±g′(x)例1　求下列函数的导数：(1)f(x)＝＋lnx；(2)y＝x3－2x＋3.解　(1)f′(x)＝－＋.(2)y′＝(x3)′－(2x)′＋3′＝3x2－2.点评　记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和

2、(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导.2.函数积的求导法则[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)例2　求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2ex；(2)f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3).解　(1)f′(x)＝(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex.(2)f′(x)＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋

3、(x＋1)(x＋2)＝(2x＋3)·(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.点评　特别要注意：[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x).同时要记住结论：若C为常数，则[Cf(x)]′＝Cf′(x)，由此进一步可以得到[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x).3.函数商的求导法则′＝(g(x)≠0)例3　求下列函数的导数：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝tanx；(3)f(x)＝＋.解　(1)f′(x)＝′＝＝.(2)f′(x)＝(tanx)′＝′＝＝.(3)因为f(x)＝＋＝＝，所以f′(x)＝′＝＝.点评　应在求导之前，先利用代数、三角

4、恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率.4.分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决.例4　求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝.解　(1)因为y＝＝x－1＋，所以y′＝1＋＝1－.(2)因为y＝＝x2＋x3＋x4，所以y′＝2x＋3x2＋4x3.点评　本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.2　导数计算中的“陷阱”导数的计算是导数学习中的一个重要方面.但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的

5、含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误.现对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助.1.未能区分好变量与常量而致错例1　求f(x)＝ax＋cosa的导数(其中a为常数).错解　f′(x)＝axlna－sina.错因分析　本题错在忽视变量ax与常量cosa的不同，常量的导数应为0.正解　f′(x)＝axlna.2.忽视导数定义中严谨结构例2　已知函数f(x)＝2x3＋5，求当Δx→0时，趋近于何值.错解一　因为＝＝＝24＋12Δx＋2Δx2.当Δx→0时，→24.所以→24.错解二　因为＝24＋12Δx＋2Δx2，当Δx→0时，→24.所以→3×24

6、＝72.错因分析　未能把握导数定义中Δy与Δx的严格对应关系，实际上中增量Δx分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系.正解　因为＝24＋12Δx＋2Δx2，当Δx→0时，→24.所以→(－3)×24＝－72.3.混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数例3　已知f(x)＝，求f′(2015).错解　∵f(2015)＝＝0，∴f′(2015)＝(0)′＝0.错因分析　f′(2015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f′(x)，再求f′(2015).正解　∵f′(x)＝，∴f′(2015)＝－＝－.指点迷津　上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学

7、习中应注重基础，注重知识生成及本质规律.错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训.3　导数运算的常用技巧同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明.1.多项式函数展开处理例1　求f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)的导数.分析　若f(x)的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导.解　∵f(x)＝(x－3)(x－2)(x－1)＝