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1、上 课2021/10/51微积分--函数的连续性2.6函数的连续性一、变量的改变量(增量)函数y=f(x):x0——xP57例1(可正可负可为零)变量u：u0——u1,△u＝u1－u0△x＝x－x0即x＝x0＋△x△y＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋△x)－f(x0)△x△y2021/10/52微积分--函数的连续性二、连续函数概念当△x→0时,曲线y＝f(x)上的动点M(x,f(x))无限趋近于该曲线上的定点M0(x0,f(x0)).M0M31.函数f(x)在点x0处连续定义1函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若则称f(x)在点x0处
2、连续,并称x0为f(x)的连续点.例1证明函数y=sinx在(-∞,+∞)内任意一点处连续.证任取x0∈(-∞,+∞)，则即y=sinx在x0处连续.故y=sinx在(-∞,+∞)内任意点连续.同理可证：y=cosx在(-∞,+∞)内任意点连续.△y＝sin(x0＋△x)－sin(x0)4定义2函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称f(x)在x0处连续,x0为f(x)的连续点.例2证明函数y=ax+b在(-∞,+∞)内任意一点处连续.注：例1不可用定义2证明.例3证0=f(0)∴函数f(x)在x=0处连续.x=0左右两侧表达式相同，不
3、必用左、右极限.△x→0x→x0△y→0f(x)→f(x0)定义3(e－d定义)略53.左连续与右连续2.函数f(x)在(a,b)内连续:f(x)在(a,b)内每一点连续由前例,多项式函数,正弦、余弦函数在其定义域R内连续.连续用极限定义,极限有“左、右极限”概念,故有:定理连续左连续右连续左端点a处右连续，右端点b处左连续.4.函数f(x)在[a,b]上连续:f(x)在(a,b)内连续,且在几何意义：图形是一条连续不断的曲线。分段函数在不同表达式的区间分界点处连续性的讨论.★2021/10/56微积分--函数的连续性例4讨论函数的连续性.思
4、路:由于多项式函数在任意一点连续,所以对此分段函数,主要是讨论在区间分界点处的连续性。解∴函数f(x)在x=0处连续.∴函数f(x)在x=1处不连续，但左连续.f(x)在(-∞,0),(0,1),(1,+∞)内连续(∵都是多项式函数)∴f(x)的连续区间为(-∞,1],(1,+∞).求连续区间7三、函数的间断点1.定义若函数f(x)在点x0处不满足连续的条件,则称(1)f(x0)不存在;f(x)在点x0处不连续(间断),并称x0为f(x)的间断点.即至少有下列情况之一出现：第一类：左、右极限存在相等：可去间断点不相等：跳跃间断点第二类：其它2
5、.间断点分类2021/10/58微积分--函数的连续性第一类间断点图示123可去间断点跳跃间断点2021/10/59微积分--函数的连续性1).可去间断点例5讨论函数在x=1处的连续性.解上例中,注：可去间断点只要改变或补充定义其函数值,则可使其变为连续点.∴x=0为函数的可去间断点.改变定义f(1)=2，2).跳跃间断点解第一类间断点特点：∴x=0为函数的跳跃间断点.函数f(x)在点x0处的左、右极限都存在.函数在x=0例6讨论函数在x=0处的连续性.没有定义，故间断。0∴x=0为f(x)的可去间断点.f(0)=0,则f(x)在x=0连续(
6、即例3).补充定义2021/10/511微积分--函数的连续性例7讨论函数在x=0处的连续性.解3).第二类间断点f(x)在x=0没有定义，故间断。∴x=0为f(x)的第二类间断点.这种情况称为振荡间断点.2021/10/512微积分--函数的连续性例8讨论函数在x=0处的连续性.解(左、右极限至少有一个为无穷大)∴x=0为f(x)的第二类间断点.这种情况称为无穷间断点.2021/10/513微积分--函数的连续性1.连续函数的四则运算例如,四、连续函数的性质∵sinx、cosx在(－∞,＋∞)内连续.∴tanx、cotx、secx、cscx
7、在其定义域内连续.2021/10/514微积分--函数的连续性意义:1.对连续函数,极限符号可以与函数符号互换;例9解定理12.复合函数的连续性2.变量代换(u=φ(x))的理论依据.2021/10/515微积分--函数的连续性例10解同理可得(证得)2021/10/516微积分--函数的连续性定理2例如,注意 定理2是定理1的特殊情况.严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.3.反函数的连续性y=sinu在(－∞,＋∞)内连续.2021/10/517微积分--函数的连续性1.初等函数在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定
8、义.注:注:2.初等函数求极限的方法：代入法.基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续的.定理★4.初等函数的连续性注:3.讨论分段函数的连续性，可
