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1、三、函数的间断点一、函数连续性第七节函数的连续与间断四、闭区间上连续函数的性质二、初等函数的连续性1设变量从就称为变量的增量，通常用符号表示，其值可正可负函数的增量:2注：函数在点一、函数的连续性定义1:在的某邻域内有定义,则称函数(1)在点即(2)极限(3)设函数连续必须具备下列条件:存在;且有定义,存在;是函数的改变量。定义2:若则称函数若3对自变量的增量有函数的增量左连续右连续函数在点连续有下列等价命题:4若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.在闭区间上的连续函数的集合记作如果区间包括
2、端点，在左端点是右连续。那么函数在右端点是左连续，continue5在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有例如,6解：例1：问函数7使函数解：例2：确定8例3.设则时为连续函数.解:9二、初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,10例4求的连续区间，并求解因为所给函数是初等函数，其连续区间就是定义域：又因为是定义域中的一点11例5求下列
3、函数的极限12在在三、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;13141516间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.17为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:18显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.19x=2是第二类无穷间断点.间断点的
4、类型.答案:x=1是第一类可去间断点,例6.讨论函数解为间断点20注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.四、闭区间上的连续函数的性质定理1.在闭区间上连续的函数即:设则使最大值和最小值.在该区间上一定有或在闭区间内有间断点,1、最值定理21例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,22推论.由定理1可知有证:设上有界.2、介值定理定理2.(零点定理)至少有一点且使在闭区间上连续的函数在该区间上有界.23定理3.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在
5、闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.24例7.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有是方程的根。25例8至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.26使该问题可转换为证明方程则存在一个在上至少有一实根。令由零点定理可证例9.设证证明至少有27内容小结左连续右连续在点连续的等价形式连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.基本初等函数在
6、定义区间内连续说明:2、28第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4）当时,使必存在上有界;在在4、29‘作业P641（1、3、5）2（3）,3,5,7，830
