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《2017_18学年高中数学第04章圆与方程专题4.1.2圆的一般方程试题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1.2圆的一般方程一、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为________________，半径_________________.2．圆的一般方程的推导把以为圆心，为半径的圆的标准方程展开，并整理得.取，得：①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得.当且仅当_______________时，方程表示圆，且圆心为__________，半径长为___________；当时，方程只有实数解，所以它表示一个点____________；当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图
2、形．3．点与圆的位置关系点与圆的位置关系是：在圆内⇔_______________________，在圆上⇔_______________________，在圆外⇔_______________________.二、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择____________________；②根据条件列出关于或的________；③解出或，代入标准方程或一般方程．三、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动
3、点M的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①________：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点M的坐标；②________：写出适合条件的点的集合；③________：用坐标表示条件，列出方程；④________：化方程为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．K知识参考答案：一、1．2．3．二、①标准方程或一般方程②方程组三、2．①建系②设点③列式④化简K—重点圆的一般方程、用待定系数法求圆的一般方程K—难点与圆有关的轨迹问题K—易错忽视
4、圆的一般方程应满足的条件致错1．圆的方程的判断判断二元二次方程是否表示圆的方法:（1）利用圆的一般方程的定义,求出利用其符号判断.（2）将方程配方化为的形式,根据的符号判断.【例1】判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程.(1)x2+y2+2x+1=0;(2)x2+y2+2ay-1=0;(3)x2+y2+20x+121=0;(4)x2+y2+2ax=0.【例2】方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的条件是A．1C．m1【答案】B【解析】由于二元二次方程x2+y2+4mx-2y+5m=0
5、表示一个圆，则D2+E2-4F=16m2+4-20m>0，解得m>1或m<.2．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例3】已知圆经过点(4,2)和(-2,-6),且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,求圆的方程.【解析】设圆的一般方程为.由圆经过点(4,2)和(-2,-6),得，设圆在x轴上的截距为x1,x2,则x1,x2是方程x2+Dx+F=0的两个根,得x1+x2=-D.设圆在y轴上的截距为y1,y2,则y1,y2是方程y2+Ey+F=0的两个根,得y1+y2=-E.由已知,得-D+(-E)=
6、-2,即D+E-2=0. ③联立①②③,解得D=-2,E=4,F=-20,故所求圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.【例4】试判断，，，四点是否在同一个圆上.解法二：因为，所以，所以是过三点的圆的直径，线段的中点即圆心．因为，所以点在圆上，所以四点在同一个圆上．【名师点睛】判断四点是否在同一个圆上，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四个点的坐标代入，若满足方程，则四点在同一个圆上，若不满足方程，则四点不在同一个圆上.3．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程
7、．步骤如下：（2）定义法:当动点的轨迹符合圆的定义时,可直接写出动点的轨迹方程.（3）相关点法:若动点随着圆上的另一动点运动而运动,且可用表示,则可将点的坐标代入已知圆的方程,即得动点的轨迹方程.【例5】已知点P(x,y),A(1,0),B(-1,1),且
8、PA
9、=
10、PB
11、.(1)求点P的轨迹方程;(2)判断点P的轨迹是否为圆,若是,求出圆心坐标及半径;若不是,请说明理由.【解析】(1)由题意得·,两边同时平方,化简得x2+y2+6x-4y+3=0,即点P的轨迹方程为x2+y2+6x-4y+3=0.(2)解法一：由(1)得(x+
12、3)2+(y-2)2=10,故点P的轨迹是圆,其圆心坐标为(-3,2),半径为.解法二：由(1)得D=6,E=-4,F=3,所以D2+E2-4F=36+16-12=40>0,故点P的轨迹是圆.又,,所以圆心坐标为(-3,2),半径r=.【例6】已知直角的斜边为,
