2020届高考数学总复习课时跟踪练四十五直线、平面垂直的判定及其性质文含解析新人教A版.docx

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1、课时跟踪练(四十五)A组　基础巩固1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A．m∥l　　　　　　　B．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析：由已知，α∩β＝l，所以l⊂β，又因为n⊥β，所以n⊥l，C正确．答案：C2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥mD⇒/l∥α，因为l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．答案：B3．设a，b是夹角为30°

2、的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对解析：过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D.答案：D4．(2019·泉州二模)在下列四个正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　　)　　　　　　A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在

3、棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.答案：D5．(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是(　　)A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCD解析：取BP的中点O，连接OA，OC，则BP⊥OA，BP⊥OC，又因为OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，B

4、P∩BD＝B，得AC⊥平面BDP，又PD⊂平面BDP，所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确，故选B.答案：B6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．解析：连接A1C1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝＝.答案：7.如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面AB

5、C，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，则△PAB，△PAC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．答案：48．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有______(填写所有正确命题的编号)．解析：①中当m⊥n，m⊥α，n∥β时，两个平面的位置关系不确定，①不正确．②中，过直线n作平

6、面γ与β交于c，则n∥c.由m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n正确．③中由面面平行的性质，易得m∥β③正确．④中，由线面角的定义与等角定理可知④正确．答案：②③④9.(2018·北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥

7、平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.10．(2019·