高中数学第5章两角和与差的正弦、余弦和正切公式第3课时两角和与差的正切公式讲义新人教A版.docx

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1、第3课时　两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.通过利用公式进行化简、证明等问题，培养逻辑推理素养.2.借助公式进行求值，提升数学运算素养.两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠1两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝

2、α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tanα·tanβ≠－11．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ等于(　　)A．2　　　　B．1　　　　C.　　　　D．4C　[∵tan(α＋β)＝＝4，且tanα＋tanβ＝2，∴＝4，解得tanαtanβ＝.]2．求值：tan＝________.－2＋　[tan＝－tan＝－tan＝－＝－＝－2＋.]3．已知tanα＝2，则tan＝________.－3　[tan＝＝＝－3.]4.＝________.　[原式＝tan(75°－15°)＝t

3、an60°＝.]两角和与差的正切公式的正用【例1】　(1)已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝________.(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[思路点拨]　(1)先用公式T(α＋β)求tan(α＋β)，再求α＋β.(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)　(2)　[(1)∵tanα＝，tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.

4、∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.(2)∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据

5、角的范围及三角函数值确定角．1．(1)已知tanα－＝，则tanα＝________.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝________.(1)　(2)3　[(1)因为tanα－＝，所以tanα＝tan＝＝＝.(2)因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】　(1)＝________.(2)＝________.[思路点拨]　注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当

6、变形后逆用公式求值．(1)　(2)－1　[(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.]公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如要特别注意2．已知α、β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则(　　)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B．tan(α＋β)＝2tan(α－β)C．3tan(α＋β)＝tan(α－β)D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β)A　[∵sin2α＝2sin2β，∴sin

7、[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]，∴sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2sin(α＋β)cos(α－β)－2cos(α＋β)sin(α－β)，∴sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)，两边同除以cos(α－β)cos(α＋β)得tan(α＋β)＝3tan(α－β)．]两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋ta

8、nβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα、tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a、b、c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝＝＝－.【例3】　(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，