高考数学第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值、最值教案文苏教版.docx

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1、第三节导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大

2、值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.[小题体验]1.当x=________时,函数f(x)=x·2x取极小值.答案:-2.已知函数f(x)=x-sinx,则f(x)

3、在[0,π]上的值域为________.答案:3.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=________.解析:由题意得f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=±2,所以当x<-2或x>2时,f′(x)>0;当-2<x<2时,f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,-2)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数.所以f(x)在x=2处取得极小值,所以a=2.答案:2求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论.[小题纠偏]1.函数f(x)=x(

4、1-x2)在[0,1]上的最大值为________.解析:f′(x)=1-3x2,令f′(x)=0,得x=∈[0,1],当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)max=f=.答案:2.已知a≤+lnx对任意x∈恒成立,则a的最大值为________.解析:设f(x)=+lnx,则f′(x)=+=.当x∈时,f′(x)<0,故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增,所以f(x)min

5、=f(1)=0,所以a≤0,即a的最大值为0.答案:0 [锁定考向]函数的极值是每年高考的必考内容,题型既有填空题,也有解答题.常见的命题角度有:(1)判断函数极值点的个数;(2)求函数的极值;(3)由函数极值求参数值或范围.    [题点全练]角度一:判断函数极值点的个数1.(2018·江都中学检测)函数f(x)=lnx-x2的极值点个数为________.解析:f(x)=lnx-x2,x∈(0,+∞),f′(x)=-2x=,当0<x<时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当x>时,f′(

6、x)<0,此时函数f(x)单调递减,所以函数f(x)的极值点个数为1.答案:1角度二:求函数的极值2.(2018·苏北四市高三一模)已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=lnx-a(a∈R).当a=1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极值.解:函数h(x)的定义域为(0,+∞).当a=1时,h(x)=f(x)-g(x)=x2+x-lnx+2,所以h′(x)=2x+1-=.令h′(x)=0,得x=或x=-1(舍去),当0<x<时,h′(x)<0;当x>时,h′(x)>0,所以函数h(x)在

7、区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数h(x)取得极小值为+ln2,无极大值.角度三:由函数极值求参数值或范围3.(2018·启东高三期末)设函数f(x)=ax3+x2+4x+1有极大值f(x1)和极小值f(x2),若0<x1<1<x2<2,则实数a的取值范围为________.解析:由题意得f′(x)=3ax2+(3-7a)x+4=0的两根为x1,x2,且a>0,因为0<x1<1<x2<2,f′(0)=4>0,所以即<a<5,所以实数a的取值范围为.答案:4.已知函数f(x)=.(1

8、)求函数f(x)的单调区间;(2)设g(x)=xf(x)-ax+1,若g(x)在(0,+∞)上存在极值点,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=,x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以f′(x)=.当f′(x)=0时,x=1.f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)f′(x)--0+f(x)极小值故f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(-∞,0)和(0,1).(2)g(x)=ex-ax+1,x∈(0,+∞),所以g′(

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