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1、第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题:妈妈让小明给客人烧水沏茶•洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟•为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》・开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件•因此我们可以列出它们的相互关系图洗开水壶冼茶杯从上图中很容易看岀，最省吋间的办法是：
2、先洗开水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待水开的过程小，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作.像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题•如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题•这里贯穿了一种统筹的数
3、学思想-最优化原则•概扌舌起来就是：要在尽可能节省人力、物力和吋间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果•这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.一、数、式、方程（组）中的最大最小问题例1把14拆成儿个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？分析与解答这耍考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.②拆出的加数不要超过4,例如5,它还可以拆成2和3,而2x3>5,所以加数大于
4、4的数还耍继续拆小.③由于4=2+2,乂4=2x2,因此拆出的加数中可以不出现4.④拆出的加数中2的个数不能多于两个•例如拆成三个2,不如拆成两个3•因为三个2的积为8,两个3的积为9,这就是说，应尽可能多拆出3.因为14=3x4+2,所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3x3x3x3x2=162最大.对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则耍根据其特点进行讨论分析.例2已知p•q-l=x,其中p、q为质数月•均小于1000,x是奇数，那么x的最大值是.分析与解答由p-q-l=x,x
5、为奇数可知，q•p=x+l是偶数又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2•不妨设p=2.为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：2x997-1=1993・方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.例3已知关于点方程手/手+142,当a为某些自然数时，方程的根为自然数，则最小自然数a=.分析与解答由原方程可得15x-142.因为爲为自然数，所以学应为大于142的整数又x为自然数，要O使孚为整数，则也须是呂的倍数，又要使$■大于14N且使瘴小,O□那么可解容〉143解得Q方”所以
6、只要取"旳便得到点最小自Q1J然数值为8•很明显，这个问题的实质是求不定方程“二J42的最小O自然数解・例4求同时满足a+b+c=6,2a-b+c=3,且bNc^O的a的最大值及最小值.分析既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据bNcNO来求•求b及c可将a+b+c=6,2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组解:b+c=6-a-b+c=3-2a3+ab=——9-3au=2，3所以自的最大值是3,最小值是2二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平
7、话》中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.例55个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟•如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水吋间的总和最小？并求出最小值.分析这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想・5个人排队一共有5x4x3x2x1=120种顺序，要把所有情形的时间总和都计算
8、出来加以比较，就太繁琐了•凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些•试用“逐步调整''法求解.解：首先证明耍使所用总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置.假如第一位置的人打水吋间要a分钟（其中2
