小学六年级奥数教材(下册).doc

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1、第六讲最大与最小问题第六讲最大与最小问题　　先看一个简单的问题：　　妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？　　这个题目，取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》.　　开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决条件；没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶，这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图　　　从上图中很容易看出，最省时间的办法是：先洗开水壶用1分钟，接

2、着烧开水用15分钟，在等待水开的过程中，可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，这样仅用16分钟就能沏茶了，这是没有“窝工”的最合理的安排，用最少的时间完成了工作.　　像这样，研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.　　在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间

3、的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.一、数、式、方程（组）中的最大最小问题　　例1把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？　　分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件，可以这样思考：file:///C

4、/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11241_SR.HTM（第1／9页）[2010-07-048:24:37]第六讲最大与最小问题　　①要使14拆成的自然数的乘积最大，所拆成的数的个数要尽可能多，多一个

5、可以多乘一次，但1不应出现，因为1与任何数的积仍为原数.　　②拆出的加数不要超过4，例如5，它还可以拆成2和3，而2×3＞5，所以加数大于4的数还要继续拆小.　　③由于4=2+2，又4=2×2，因此拆出的加数中可以不出现4.　　④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2，不如拆成两个3.因为三个2的积为8，两个3的积为9，这就是说，应尽可能多拆出3.　　因为14=3×4+2，所以把14拆成3、3、3、3、2时，积为3×3×3×3×2=162最大.　　对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.　　例2已知p

6、・q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____.　　分析与解答由p・q-1=x，x为奇数可知，　　q・p=x+1是偶数　　又因为p、q为质数，所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p=2.　　为了使x尽可能大，只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值：　　2×997-1=1993.　　方程中有参数和其他条件，也可能出现最大或最小问题.　　的根为自然数，则最小自然数a=____.　　分析与解答由原方程可得　　file:///C

7、/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/

8、小学生6年级数学奥数/11241_SR.HTM（第2／9页）[2010-07-048:24:37]第六讲最大与最小问题　　例4求同时满足a+b＋c＝6，2a-b＋c=3，且b≥c≥0的a的最大值及最小值.　　分析既然是求a的最大值及最小值，就要想办法将b及c用a的代数式表示出来，再根据b≥c≥0来求.求b及c可将a＋b＋c＝6，2a-b+c=3看作含b、c的二元一次方程组　　二、统筹方法中教学思想方法的初步应用　　在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子，统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率

9、、保证工作质量是十分有效的，所用数学思想是朴素而精彩的.　　例55个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，使所有人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值.　　分析这是我们经常遇到而不去思考的问题，其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一file:///C

10、/DocumentsandSettings/Administrator/桌面/小学1-6年级奥数书/小学生6年级数学奥数/11241_SR.HTM（第3／9页）[2010-0