联想_探究_推广_应用.doc

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1、联想•探究•推广•应用摘要：通过对基本不等式的探究学习，从中挖掘数学思想方法，归纳、提炼出一些重要的数学结论，使学习更有效，知识掌握更牢固.关键词：基本不等式；探究学习；拓展应用基本不等式：如果a,bER,那么a2+b2$2ab（当且仅当a=b时取“二”号）.如果a,bER,那么2（当且仅当a=b时取“二”号）.教学时，不能到此为止.否则，就失去了它应有的价值.我们可以引导学生进一步探究学习，从问题本身中挖掘数学思想方法，归纳、提炼出一些重要的数学结论，使这个问题成为知识与方法的生长点.[?]联想•探究

2、从项数上对基本不等式进行拓展探究：结论1如果a,b,cWR,那么a2+b2+c22ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时取号）.证明：因为a,b,cGR,所以（a-b）2+（b-c）2+（c-a）220,2（a2+b2+c2）22ab+2bc+2ac即a2+b2+c22ab+bc+ca（当且仅当a二b=c时取“="号）.从次数上对基本不等式加以拓展探究：结论2(1)如果a,b,cWR,那么a3+b3+c3^3abc(当且仅当a=b时取“二"号).(2)如果a,b,cWR+,那么三(当且仅当a二b二c时取

3、号)•证法一：(1)因为a,b,cWR,所以a3+b3-(a2b+ab2)=(a~b)(a2~b2)=(a+b)(a-b)220.即a3+b3^a2b+ab2.同理可得，b3+c3$b2c+c2b,c3+a3^c2a+a2c,所以2(a3+b3+c3)Mb(a2+c2)+a(b2+c2)+c(a2+b2)26abc，即a3+b3+c3^3abc.当且仅当a=b=c时等号成立.证法二：a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+

4、c2]~3ab•(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc~ac)二(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c~a)2]$0(当且仅当a=b=c时取"二”号).(2)可用(1)的结论加以证明.还可将结论2推广到四项、五项、……，甚至一般情形.结论3如果a,b,c,dWR+,那么a4+b4+c4+d424abcd(当且仅当a二b二c二d时取“二”号).&P入％入"q入"e0飯6〈pAAqAe术冈・("P—E)(p—0)+("p—"q)o—q)+("p—ooe)(q—c)H〔

5、(p—。)+Q—q)+(q—e)〕gp—(p—。)co¥2—q)ooq+(q—p)"F(p—e)gp—(p—。)E+o—q)"q+(q—e)gy(egp+pg¥ogq+qge)—寸9+寸¥冥十冥・P入。Aq2p怒艰K--H块岸•(耶韦》整苗P3que卽库H卽)poq爭入4PEZ+zq^zA寸P+寸¥寸q+寸p•poqezAcxlPE+zq忘山PEZ入寸P+寸。YqwzA寸q+寸c0翌匚HUP66£术冈-—史岸uemzeHIe训库H训)Qeleu入e+・・・+e+e+e弋離石入u回护Nluu•嘛M

6、田收票u?…帐展寸您撫•(耶了霉点PHfqb即於M即)poqe寸入寸9+寸¥冥+寸C0翌"(耶《J霉古PHyqu训毕一■训)poqe寸入qezp+epE+pozq+oqw■qczp+epE+p^q+oqw入咼p+pg¥ogq+qge岸世W叵(那眾J霉点pbque训必回训)e"p+pe¥^q+q"eA寸9+寸¥冥+寸e0翌・0入COP—E6入gp—gq・0入gp—geMO入P—06入。—q・0入q—e0翌时取“二”）・在结论3的证法二中，证明不等式a4+b4+c4+d4^a3b+b3c+c3d+d3a时

7、，可将证明思路推广到一般情形，就得到著名的排序不等式：结论5设有两个有序数组0albl+a2b2+・・・+anbn2albjl+a2bj2+・・・+（同序和）（乱序和）anbjn^albn+a2bn-l+・・・+anb1.（倒序和）类似地，我们还可得到基本不等式的一般情形.结论6若al,a2,a3,•••,an均为正数，n^N*,且n22,则2（当且仅当al=a2=-=an时取"二”号）.结论7若al,a2,a3,…，an均为正数，n^N*,且n$2,则WW,（al+a2+•••+an）++・・・+2n

8、2.以上均是当且仅当al=a2=---=an时等号成立.评注这是基本不等式的一般情形，即n个正数的几何平均数不小于它们的调和平均数，不大于它们的算术平均数.我们把a2+b2^2ab的两边同加±a2+b2,得结论8如果a,beR,那么2当△二0时，方程(alx~l)2+(a2x_l)2+・・・+(anx_l)2=0有等根x0,所以alx0=a2x0=---=anx0=l,即当al=a2=---=an时，等号成立.由结论10的证明给我们的启发是