2018年秋高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换学案新人教A版必修4.doc

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1、3.2　简单的三角恒等变换学习目标：1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用．(重点)2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．(难点、易错点)[自主预习·探新知]半角公式(1)sin＝±，(2)cos＝±，(3)tan＝±，(4)tan＝＝＝，tan＝＝＝.[基础自测]1．思考辨析(1)cos＝.(　　)(2)存在α∈R，使得cos＝cosα.(　　)(3)对于任意α∈R，sin＝sinα都不成立．(　　)(4)

2、若α是第一象限角，则tan＝.(　　)[解析]　(1)×.只有当－＋2kπ≤≤＋2kπ(k∈Z)，即－π＋4kπ≤α≤π＋4kπ(k∈Z)时，cos＝.(2)√.当cosα＝－＋1时，上式成立，但一般情况下不成立．(3)×.当α＝2kπ(k∈Z)时，上式成立，但一般情况下不成立．(4)√.若α是第一象限角，则是第一、三象限角，此时tan＝成立．[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)A．－　　　　　　B．C．－D．C　[∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°，又cos2＝，∴cosα＝－.]3．

3、已知2π＜θ＜4π，且sinθ＝－，cosθ＜0，则tan的值等于________．－3　[由sinθ＝－，cosθ＜0得cosθ＝－，∴tan＝＝＝＝＝－3.][合作探究·攻重难]化简求值问题　(1)设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)A．　　　　　　B．C．－D．－(2)已知π<α<，化简：＋.【导学号：84352339】[思路探究]　(1)先确定的范围，再由sin2＝得算式求值．(2)1＋cosθ＝2cos2，1－cosα＝2sin2，去根号，确定的范围，化简．(1)D　[(1)∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.(2)原

4、式＝＋.∵π＜α＜，∴＜＜，∴cos＜0，sin＞0，∴原式＝＋＝－＋＝－cos.][规律方法]　1.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．2．利用半角公式求值的思路(1)看角：看已知角与待求角的2倍关系．(2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan＝＝，涉及半

5、角公式的正、余弦值时，常利用sin2＝，cos2＝计算．(4)下结论：结合(2)求值．提醒：已知cosα的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．[跟踪训练]1．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan.[解]　法一：∵180°<θ<270°，∴90°<<135°，即是第二象限角，∴tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.三角恒等式的证明　求证：＝sin2α.[思路探究]　法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明；法二：cos2α不变，直接用二倍角正切公式变形．[

6、证明]　法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscosα＝sinαcosα＝sin2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．左边＝＝cos2α·＝cos2α·tanα＝cosαsinα＝sin2α＝右边，∴原式成立．[规律方法]　三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条

7、件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.[跟踪训练]2．求证：＝.【导学号：84352340】[证明]　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立.三角恒等变换与三角函数图象性质的综合　已知函数f(x)＝cos－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求证：当x∈时，f(x)≥－.【导学号：84352341】[思路探究]　→→→[解](1)f(x)＝cos－2sinxcosx＝cos2x＋sin2x－sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin，所以T＝＝π.(2)证明：令t＝2x＋，因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，因为y＝sint在上