2019年高考数学总复习专题4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数导学案理.doc

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1、第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．知识梳理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

2、β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．（5）

3、象限角与轴线角的表示第一象限的角：{α

4、k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；第二象限的角：{α

5、k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z}；第三象限的角：{α

6、k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°，k∈Z}；第四象限的角：{α

7、k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z}．终边在x轴非负半轴上的角：{α

8、α＝2kπ，k∈Z}；终边在x轴非正半轴上的角：{α

9、α＝(2k－1)π，k∈Z}．终边在y轴非负半轴上的角：；终边在y轴非正半轴上的角：.终边在x轴上的角：{α

10、α＝kπ，k∈Z}；终边在y轴上的角：.终边在坐标轴上

11、的角：.2.弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.角α的弧度数公式：

12、α

13、＝(弧长用l表示)3.度与弧度的换算关系360°＝2πrad；180°＝π　rad；1°＝　rad；1rad＝°≈57.30°.4.弧长公式与扇形面积公式l＝

14、α

15、·r，即弧长等于弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积　．S扇＝lr＝

16、α

17、r2.（公式中的α必须为弧度制）5．三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一

18、点P的坐标为(x，y)，

19、OP

20、＝r，我们规定：（1）比值叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝；（2）比值叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝；（3）比值(x≠0)叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝.6.三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦．7.三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示α的正弦线，α的余弦线和α的正切线．注：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．8.对终边相同的角的理解与引申：(1)相等的角终

21、边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍．典型例题考点一角的有关概念及其集合表示【例1】(1)若角α是第二象限角，则是(　　)A．第一象限角　　　　B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【答案】C(2)终边在直线y＝x上的角的集合是________．【答案】{β

22、β＝60°＋k·180°，k∈Z}　【解析】如图，直线y＝x过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°

23、，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β

24、β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β

25、β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β

26、β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β

27、β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β

28、β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β

29、β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β

30、β＝60°＋k·180°，k∈Z}．]规律方法象限角和终边相同的角的判断及表示方法(1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2kπ＋α(0≤α<2π)(k

31、∈Z)的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.(2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.【变式训练1】(1)已知角α是第一象限角，则2α所在的象限为.【答案】2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上【解析】∵2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，∴4kπ<2α<4kπ＋π，∴2α在第一或第二象限或终边在y轴非负半轴上.(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)【答案】C【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；