2019高考数学考点突破——函数概念：函数的奇偶性与周期性学案.doc

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1、函数的奇偶性与周期性【考点梳理】1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x

2、)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【考点突破】考点一、函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－2x；(2)f(x)＝(x＋1)；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝[解析](1)定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)．∴该函数为奇函数.(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称，∴函数为非奇非偶函数.(3)由得x2＝3，解得x＝±，即函数f(x)的定

3、义域为{－，}，从而f(x)＝＋＝0.因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数.【类题通法】1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都

4、满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．【对点训练】1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋D．y＝x2＋sinx[答案]D[解析]对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋＝2x＋＝f(x)，为偶函数；y＝x2＋sinx既不是

5、偶函数也不是奇函数.2．判断函数f(x)＝的奇偶性．[解析]函数的定义域为{x

6、x≠0}，关于原点对称，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．考点二、函数奇偶性的应用【例2】若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.[答案]1[解析]∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xlna＝0恒成立，∴

7、lna＝0，即a＝1.【类题通法】已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．【对点训练】若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.[答案]－[解析]由于f(－x)＝f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，∴a＝－.【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则f(x)＝

8、________.[答案][解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0.又当x＜0时，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝【类题通法】已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f(x)的方程(组)，从而可得f(x)的值或解析式．【对点训练】已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为____

9、____________．[答案]f(x)＝－x3－x＋1[解析]设x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，所以f(－x)＝－x3－x＋1.又函数f(x)是偶函数，所以f(x)＝－x3－x＋1.考点三、函数的周期性及其应用【例4】设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋