2019高考数学 考点突破——函数概念:函数的单调性与最值学案

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1、函数的单调性与最值【考点梳理】1.增函数、减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,则都有:(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2);(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2).2.单调性、单调区间的定义若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M①对于任意的x∈

2、I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值【考点突破】考点一、函数单调性的判断【例1】函数y=log(-x2+x+6)的单调增区间为(  )A.B.C.(-2,3)D.[答案]A[解析]由-x2+x+6>0,得-2

3、,f(x)=a=a,f(x1)-f(x2)=a-a=,由于-10,x1-1<0,x2-1<0,故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上递减;当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上递增.【类题通法】1.求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法有:

4、①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性;④导数法.(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.【对点训练】1.函数f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为________.[答案](-∞,-1)[解析]由x2-1>0得x>1或x<-1,即函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).令t=x2-1,因为y=log2t在t∈(0,+∞)上为增函数,t=x2-1在x∈(-∞,-1)上是减函数,所以函数f(x)=log2(x2-1)的单调递减区间为(-∞,-1).2.试讨论函数f(x)=x

5、+(k>0)的单调性.[解析]法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取x1,x2,令0<x1<x2,那么f(x2)-f(x1)=-=(x2-x1)+k=(x2-x1).因为0<x1<x2,所以x2-x1>0,x1x2>0.故当x1,x2∈(,+∞)时,f(x1)<f(x2),即函数在(,+∞)上单调递增.当x1,x2∈(0,)时,f(x1)>f(x2),即函数在(0,)上单调递减.考虑到函数f(x)=x+(k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(-∞,-)上单调递增,在(-,0)上单调递减.综上,函数f(x)在

6、(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减.法二:f′(x)=1-.令f′(x)>0得x2>k,即x∈(-∞,-)或x∈(,+∞),故函数的单调增区间为(-∞,-)和(,+∞).令f′(x)<0得x2<k,即x∈(-,0)或x∈(0,),故函数的单调减区间为(-,0)和(0,).故函数f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减.考点二、利用函数的单调性求最值【例2】函数f(x)=(x≥2)的最大值为________.[答案]2[解析]法一:∵f′(x)=,∴x≥2时,f′(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上

7、单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.法二:∵f(x)===1+,∴f(x)的图象是将y=的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.法三:由题意可得f(x)=1+.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<≤1,∴1<1+≤2,即1<≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.【类题通法】利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性;(2)计算端点处

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