2019高考数学 考点突破——函数概念：函数的单调性与最值学案

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1、函数的单调性与最值【考点梳理】1．增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．2．单调性、单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈

2、I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值【考点突破】考点一、函数单调性的判断【例1】函数y＝log(－x2＋x＋6)的单调增区间为(　　)A．B．C．(－2，3)D．[答案]A[解析]由－x2＋x＋6>0，得－2

3、，f(x)＝a＝a，f(x1)－f(x2)＝a－a＝，由于－10，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上递增.【类题通法】1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.2.(1)函数单调性的判断方法有：

4、①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【对点训练】1．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．[答案](－∞，－1)[解析]由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．2．试讨论函数f(x)＝x

5、＋(k＞0)的单调性．[解析]法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，即函数在(，＋∞)上单调递增.当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，即函数在(0，)上单调递减．考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．综上，函数f(x)在

6、(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.法二：f′(x)＝1－.令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞).令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.考点二、利用函数的单调性求最值【例2】函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．[答案]2[解析]法一：∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，∴f(x)在[2，＋∞)上

7、单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法二：∵f(x)＝＝＝1＋，∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.法三：由题意可得f(x)＝1＋.∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.【类题通法】利用函数的单调性求解函数最值的步骤(1)判断或证明函数的单调性；(2)计算端点处