2015年高考数学真题分类汇编：专题（03）导数（理科）及答案

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1、专题三导数1.【2015高考福建，理10】若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，，所以结论中一定错误的是C，选项D无法判断；构造函数，则，所以函数在上单调递增，且，所以，即，，选项A,B无法判断，故选C．【考点定位】函数与导数．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式，方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性，最值等问题，常可使

2、问题变得明了，属于难题．2.【2015高考陕西，理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D.点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B，C，D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B，C，D正确，故选A．【考点定位】1，函数的零点；2，利用导数研究函数的极值．【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，

3、属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误．解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行检验，也可作必要的合情推理．3.【2015高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．　　　B．C．　　　D．【答案】A【考点定位】导数的应用，函数的图象与性质．【名师点睛】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式，方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性，最

4、值等问题，常可使问题变得明了，属于难题．4.【2015高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（）(A)[-，1）(B)[-，）(C)[，）(D)[，1）【答案】D【解析】设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时，=，当时，=-1，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题【名师点睛】对存在性问题有三种思路，思路1：参变分离，转化为参数小于某个函数（或参数大于某个函数

5、），则参数该于该函数的最大值（大于该函数的最小值）；思路2：数形结合，利用导数先研究函数的图像与性质，再画出该函数的草图，结合图像确定参数范围，若原函数图像不易做，常化为一个函数存在一点在另一个函数上方，用图像解；思路3：分类讨论，本题用的就是思路2.5.【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是，设抛物线的方程为（），因为该抛物线过点，所以，解得，所以，即，所以当前

6、最大流量是，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是，所以答案应填：．【考点定位】1，定积分；2，抛物线的方程；3，定积分的几何意义．【名师点晴】本题主要考查的是定积分，抛物线的方程和定积分的几何意义，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“原始”和“当前”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是定积分的几何意义，即由直线，，和曲线所围成的曲边梯形的面积是．6.【2015高考天津，理11】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.【答案】【考点定位】定积分几何意义与定积分运算.【名师点睛】本题主要考查定积分几何意义与运算能力.定积分的几何意义体现

7、数形结合的典型示范，既考查微积分的基本思想又考查了学生的作图，识图能力以及运算能力.【2015高考湖南，理11】.【答案】.【解析】试题分析：.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.7.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．【解析】(Ⅰ)．若，则当时，，；当时，，

8、．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时