一阶线性微分方程组例题及解析

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1、临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练第4章一阶线性微分方程组一内容提要1．基本概念一阶微分方程组：形如（3.1）的方程组，（其中是关于的未知函数）叫做一阶微分方程组。若存在一组函数使得在[a,b]上有恒等式成立，则称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n任意常数的解称为(3.1)通解。如果通解满方程组则称这个方程组为（3.1）的通积分。满足初始条件的解，叫做初值问题的解。令n维向量函数Y=，F（，Y）=14临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练，则（3.1）可记成向量形式(3.2)初始条件可记为Y

2、()=,其中则初值问题为:(3.3)一阶线性微分方程组:形如(3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A()=及F(=则(3.4)的向量形式:(3.5)F(时(3.6)称为一阶线性齐次方程组,14临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。在（3．5）式A(即A((3.7)叫做常系数线性非齐次微分方程组.(3.8)叫做常系数线性齐次微分方程组.1．一阶线性微分方程组的通解结构.定理1（一阶线性微分方程组解存在唯一性定理）：如果线性微分方程组中的A及F在区间I=上连续，则对于

3、上任一点以及任意给定的Y，方程组的满足初始条件的解在上存在且唯一。1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m个不全为零的常数使得恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。判别法则：①定义法②朗斯基（Wronski）行列式判别法：对于列向量组成的行列式通常把它称为n个n维向量函数组的朗斯基（Wronski）行列式。定理1如果n个n维向量函数组在区间I线性相关，则们的朗斯基（Wronski）行列式在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：14临沂师范学院精品课程--

4、-----常微分方程之课外训练朗斯基行列式在I上恒等于零，但它们却是线性无关。定理2如果n个n维向量函数组的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上某一点处不等于零，即则向量函数组在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。但如果是一阶线性齐次微分方程组的解，则上述两定理及其逆定理均成立。即定理3一阶线性齐次微分方程组的解是线性无关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处不等于零；解是线性相关的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处恒等于零2).基本解组及其有关结论定义：一阶线性齐次

5、微分方程组的n个线性无关解称为它的基本解组判别：一阶线性齐次微分方程组的解是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基（Wronski）行列式在区间I上任一点处不等于零。结论：①一阶线性齐次微分方程组必存在基本解组。②基本解组有无穷多个。3）一阶线性齐次微分方程组通解的结构定理：如果是线性齐次微分方程组的基本解组，则其线性组合Y是线性齐次微分方程组的通解。结论：线性齐次微分方程组的解的全体构成一n维线性空间。4）解与系数的关系，即刘维尔公式14临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练定理：如果是线性齐次微分方程组的解，则这n

6、个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组的系数的关系是：此式称为刘维尔（Liouville）公式.由此公式可以看出n个解的朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零称为矩阵A的迹。记作。一阶线性非齐次方程组的通解结构定理（通解结构定理）：线性非齐次方程组的通解等于对应的齐次微分方程组的通解与的一个特解之和。即的通解为Y其中为对应的齐次微分方程组的通解，是的一个特解。求通解的方法——拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组的一个基本解组构成基本解矩阵齐次微分方程组的通解为其中线性非齐次方程组的通解为。14临沂师范学院精品课程-------常微

7、分方程之课外训练结论：线性非齐次方程组解的全体并不构成n+1维线性空间。1．常系数线性微分方程组的解法常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（基本解组的求解方法）①求特征根：即特征方程式det(A-的解。②根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应的解。（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：①求相应的齐次微分方程组的基本解组；②用待定系数法求特解。（详略）14临沂师范学院精品课程-------常微分方程之课外训练二

8、．典型例题及解题方法简介（1）化一阶线性微分方程组:有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组，可以通过合理的函数代换，化为一阶线性微分方程组。例1化如下微分方程为一阶线性微分方程组：解：令则∴原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：例