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《高考数学二轮核心考点突破：专题17-圆锥曲线的综合应用（含答案）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题17圆锥曲线的综合应用【自主热身,归纳总结】1.已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为________．【答案】:x＝【解析】: 因为抛物线的焦点为(－3,0),即为双曲线的左焦点,所以a2＝9－1＝8,所以双曲线的右准线方程为x＝.2.若双曲线x2＋my2＝1过点(－,2),则该双曲线的虚轴长为________．【答案】4 【解析】:将点(－,2)代入可得2＋4m＝1,即m＝－,故双曲线的标准方程为－＝1,即虚轴长为4.本题易错在两个地方:一是忘记了虚轴的概念;二是没有把双曲线方程化成标准式．双曲线的
2、实轴长为2a,虚轴长为2b,需要记住．双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行,所以拿到双曲线方程要先化为标准式．3.在平面直角坐标系中,已知双曲线的焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】焦点在轴,不妨取焦点坐标为,渐近线方程为,即,所以焦点到渐近线距离为,则所以离线率为.【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长,这一点要熟记.高考数学4.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F,双曲线－＝1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A,B两点(A,B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过
3、点F,则双曲线的渐近线方程是________．【答案】:y＝±2x 【解析】:由题意得A,B,双曲线－＝1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±x,不妨设点A在渐近线y＝x上,则p＝·,所以＝2,于是该双曲线的渐近线方程是y＝±2x.5.若双曲线的两条渐近线与抛物线交于三点,且直线经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为．解法2由题意可得A(－2,0),设P(a,a＋2),则AP的中点M,AP＝,故以AP为直径的圆M的方程为＋＝.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切),故＝,解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.在解决与圆相关的综合问题时,需要充分
4、利用圆的几何性质及一些简单的轨迹方程的知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理,另外本题的难点还在于方程的处理．【问题探究,变式训练】例1.如图,椭圆的左,右焦点分别为,,,是椭圆右准线上的两个动点,且．高考数学（1）求的最小值;（2）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．OMNF2F1yx解（1）设,．则,,,,又,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为．（2）圆心的坐标为,半径．圆的方程为,整理得:．,．令,得,．所以圆过定点．【变式1】.如图,已知圆,直线,圆O与x轴交A,B两点,M是圆O上异于A,B的任意一点,直线AM交直线l于点P,直线B
5、M交直线l于点Q．求证:以PQ为直径的圆C过定点,并求出定点坐标．解设,则直线方程为,则．同理:．所以以为直径的圆的方程是:．又,所以．令,．高考数学所以以PQ为直径的圆C过定点为．【变式2】.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:＋＝1(a>b>0)的离心率为,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)．(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点M(0,－1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由．(2)当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9;(7分)当直线l的斜率为零时,以AB为
6、直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一公共点,也是椭圆的上顶点D(0,3)．猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0,3)．(9分)证明如下:证法1(向量法)设直线l的方程为y＝kx－1,A(x1,y1),B(x2,y2)．只要证·＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．即要证·＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.(11分)由消去y,得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0,Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0,此方程总有两个不等实根x1,x2.高考数学x1,2＝,所以x
7、1＋x2＝,x1x2＝.(14分)所以·＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－＋16＝0.所以DA⊥DB,所以以AB为直径的圆恒过定点D(0,3)．(16分)证法2(斜率法)若设DA,DB的斜率分别为k1,k2,只要证k1k2＝－1即可．设直线l的斜率为λ,则＝λ.由点A在椭圆x2＋2y2＝18上,得x＋2y＝18,变形得·＝－,即k1·＝－.设yA＋3＝m(yA－3)＋n(yA＋1),可得m＝－,n＝,得＝λ－k1.从而k1(3λ－k1)＝－1,即k－3λk1－1＝0.同理k－3λk2－1＝0,所以k1,k2是关于k的方程k2－3λk－
8、1＝0的两实根．由根与系数关系,得k1k2＝－1.所以DA⊥DB,所以以AB为直径的圆恒过定点
