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时间:2019-03-29
《高考专题-- 圆锥曲线的综合应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点---精校解析Word版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考专题圆锥曲线的综合应用【自主热身,归纳总结】1、已知双曲线-y2=1的左焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合,则双曲线的右准线方程为________.【答案】:x=【解析】: 因为抛物线的焦点为(-3,0),即为双曲线的左焦点,所以a2=9-1=8,所以双曲线的右准线方程为x=.2、若双曲线x2+my2=1过点(-,2),则该双曲线的虚轴长为________.【答案】4 【解析】:将点(-,2)代入可得2+4m=1,即m=-,故双曲线的标准方程为-=1,即虚轴长为4.本题易错在两个地方:一是忘记了虚轴的概念;二是没有把双曲线方程化成标准式.双曲线的实轴长为
2、2a,虚轴长为2b,需要记住.双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行,所以拿到双曲线方程要先化为标准式.3、在平面直角坐标系中,已知双曲线的焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的离心率为.【答案】【解析】焦点在轴,不妨取焦点坐标为,渐近线方程为,即,所以焦点到渐近线距离为,则所以离线率为.【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长,这一点要熟记.4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A,B两点(A,B异于坐标原点O).若直线AB恰好过点F,则双曲线的渐近线方
3、程是________.【答案】:y=±2x 【解析】:由题意得A,B,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,不妨设点A在渐近线y=x上,则p=·,所以=2,于是该双曲线的渐近线方程是y=±2x.5、若双曲线的两条渐近线与抛物线交于三点,且直线经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为.解法2由题意可得A(-2,0),设P(a,a+2),则AP的中点M,AP=,故以AP为直径的圆M的方程为+=.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切),故=,解得a=或a=5.故点P的横坐标的取值集合为.在解决与圆相关的综合问题时,需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹
4、方程的知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理,另外本题的难点还在于方程的处理.【问题探究,变式训练】例1、如图,椭圆的左,右焦点分别为,,,是椭圆右准线上的两个动点,且.(1)求的最小值;(2)以为直径的圆是否过定点?请证明你的结论.OMNF2F1yx解(1)设,.则,,,,又,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.(2)圆心的坐标为,半径.圆的方程为,整理得:.,.令,得,.所以圆过定点.【变式1】、如图,已知圆,直线,圆O与x轴交A,B两点,M是圆O上异于A,B的任意一点,直线AM交直线l于点P,直线BM交直线l于点Q.求证:以PQ为直径的圆C过定点
5、,并求出定点坐标.解设,则直线方程为,则.同理:.所以以为直径的圆的方程是:.又,所以.令,.所以以PQ为直径的圆C过定点为.【变式2】、在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(-1).(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知过点M(0,-1)的动直线l与椭圆C交于A,B两点,试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点,并说明理由.(2)当直线l的斜率不存在时,以AB为直径的圆的方程为x2+y2=9;(7分)当直线l的斜率为零时,以AB为直径的圆的方程为x2+(y+1)2=16.(8分)这两圆仅有唯一
6、公共点,也是椭圆的上顶点D(0,3).猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0,3).(9分)证明如下:证法1(向量法)设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2).只要证·=x1x2+(y1-3)(y2-3)=x1x2+(kx1-4)(kx2-4)=0即可.即要证·=(1+k2)x1x2-4k(x1+x2)+16=0.(11分)由消去y,得(1+2k2)x2-4kx-16=0,Δ=16k2+64(1+2k2)>0,此方程总有两个不等实根x1,x2.x1,2=,所以x1+x2=,x1x2=.(14分)所以·=(1+k2)x1x2-4k(x1+x2
7、)+16=-+16=0.所以DA⊥DB,所以以AB为直径的圆恒过定点D(0,3).(16分)证法2(斜率法)若设DA,DB的斜率分别为k1,k2,只要证k1k2=-1即可.设直线l的斜率为λ,则=λ.由点A在椭圆x2+2y2=18上,得x+2y=18,变形得·=-,即k1·=-.设yA+3=m(yA-3)+n(yA+1),可得m=-,n=,得=λ-k1.从而k1(3λ-k1)=-1,即k-3λk1-1=0.同理k-3λk2-1=0,所以k1,k2是关于k的方程k2-3λk-1=0的两实根.由根与系数关系,得k1k2=-1.所以DA⊥DB,所以以AB为直径的圆恒
8、过定点D(0,3).【关联1】、如图,
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