高考专题-- 圆锥曲线的综合应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点---精校解析Word版

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1、高考专题圆锥曲线的综合应用【自主热身，归纳总结】1、已知双曲线－y2＝1的左焦点与抛物线y2＝－12x的焦点重合，则双曲线的右准线方程为________．【答案】：x＝【解析】：　因为抛物线的焦点为(－3，0)，即为双曲线的左焦点，所以a2＝9－1＝8，所以双曲线的右准线方程为x＝.2、若双曲线x2＋my2＝1过点(－，2)，则该双曲线的虚轴长为________．【答案】4　【解析】：将点(－，2)代入可得2＋4m＝1，即m＝－，故双曲线的标准方程为－＝1，即虚轴长为4.本题易错在两个地方：一是忘记了虚轴的概念；二是没有把双曲线方程化成标准式．双曲线的实轴长为

2、2a，虚轴长为2b，需要记住．双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行，所以拿到双曲线方程要先化为标准式．3、在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为．【答案】【解析】焦点在轴，不妨取焦点坐标为，渐近线方程为，即，所以焦点到渐近线距离为,则所以离线率为.【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长，这一点要熟记.4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)．若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方

3、程是________．【答案】：y＝±2x　【解析】：由题意得A，B，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在渐近线y＝x上，则p＝·，所以＝2，于是该双曲线的渐近线方程是y＝±2x.5、若双曲线的两条渐近线与抛物线交于三点，且直线经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为．解法2由题意可得A(－2，0)，设P(a，a＋2)，则AP的中点M，AP＝，故以AP为直径的圆M的方程为＋＝.由题意得圆C与圆M相切(内切和外切)，故＝，解得a＝或a＝5.故点P的横坐标的取值集合为.在解决与圆相关的综合问题时，需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹

4、方程的知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理，另外本题的难点还在于方程的处理．【问题探究，变式训练】例1、如图，椭圆的左，右焦点分别为，，，是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求的最小值；（2）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．OMNF2F1yx解（1）设，．则，，，，又，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．（2）圆心的坐标为，半径．圆的方程为，整理得：．，．令，得，．所以圆过定点．【变式1】、如图，已知圆，直线，圆O与x轴交A，B两点，M是圆O上异于A，B的任意一点，直线AM交直线l于点P，直线BM交直线l于点Q．求证：以PQ为直径的圆C过定点

5、，并求出定点坐标．解设，则直线方程为，则．同理：．所以以为直径的圆的方程是：．又，所以．令，．所以以PQ为直径的圆C过定点为．【变式2】、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(－1)．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知过点M(0，－1)的动直线l与椭圆C交于A，B两点，试判断以线段AB为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．(2)当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝9；(7分)当直线l的斜率为零时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋1)2＝16.(8分)这两圆仅有唯一

6、公共点，也是椭圆的上顶点D(0，3)．猜想以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．(9分)证明如下：证法1(向量法)设直线l的方程为y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要证·＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．即要证·＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.(11分)由消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程总有两个不等实根x1，x2.x1，2＝，所以x1＋x2＝，x1x2＝.(14分)所以·＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2

7、)＋16＝－＋16＝0.所以DA⊥DB，所以以AB为直径的圆恒过定点D(0，3)．(16分)证法2(斜率法)若设DA，DB的斜率分别为k1，k2，只要证k1k2＝－1即可．设直线l的斜率为λ，则＝λ.由点A在椭圆x2＋2y2＝18上，得x＋2y＝18，变形得·＝－，即k1·＝－.设yA＋3＝m(yA－3)＋n(yA＋1)，可得m＝－，n＝，得＝λ－k1.从而k1(3λ－k1)＝－1，即k－3λk1－1＝0.同理k－3λk2－1＝0，所以k1，k2是关于k的方程k2－3λk－1＝0的两实根．由根与系数关系，得k1k2＝－1.所以DA⊥DB，所以以AB为直径的圆恒

8、过定点D(0，3)．【关联1】、如图，