2019年高考一轮热点难点名师精讲与专题15：导数法妙解不等式

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1、考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，

2、再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2

3、、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例1】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（六）】已知函数（），．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）当时，求证：对任意时，不等式恒成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）因为，令解得当时，，即在区间为增

4、函数；当时，，即在区间为减函数所以（Ⅱ），由第（1）问可知又因为，存在，使得，即当时，，即在为减函数；当时，，即在为增函数所以---------------①又因为，即带入①中得令，当时，，即在为减函数，【点睛】本题考查了导函数在函数中的综合应用，利用导数判断函数的单调性，并证明不等式，综合性强，对思维能力要求高，属于高考中的压轴题，属于难题。类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题【例2】【广东省深圳市2018届高考模拟测试二】已知向量，，（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,．（Ⅰ）求的值及的单调区间；（Ⅱ）已

5、知函数(为正实数),若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），的增区间为，减区间为（Ⅱ）由，由的增区间为，减区间为（II）对于任意，总存在，使得，由（I）知，当时，取得最大值.对于，其对称轴为当时，，，从而当时，，，从而综上可知：类型三、利用导数证明不等式【例3】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（八）】已知函数，斜率为的直线过点，其中.（Ⅰ）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值；（Ⅱ）证明：.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析．【解析】【分析】（1）构造函数，求导得由于，所以最小值必为

6、单调性说明其它情况不满足题意，（2）当时，，再利用等差数列求和公式得结果.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）当时，所以，即，令累加得：.即.【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点【例4】【湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试】已知函数，.（1）当时，求的单

7、调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可．①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.【点睛】已知函数有

8、零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，