高考专题---空间向量及其运算教学案2020届高考数学理热点---解析Word版.doc

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1、1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：－－；(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值。(2)∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－，∴x＝，y＝－，z＝－。【提分秘籍】空间向量的

2、表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。【举一反三】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c【答案】A＝－a＋b＋c。热点题型二共线、共面向量定理的应用例2、（2018年北京卷）如图，在三棱柱ABC-中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（

3、Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．【答案】(1)证明见解析(2)B-CD-C1的余弦值为(3)证明过程见解析【解析】又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．【变式探究】已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH。(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD。又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面E

4、FGH。【提分秘籍】应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面＝λ＝x＋y对空间任一点O，＝＋t(t为参数)对空间任一点O，＝＋x＋y对空间任一点O，＝(1－t)＋t(t为参数)对空间任一点O，＝(1－x－y)＋x＋y【举一反三】已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)。(1)判断，，三个向量是否共面；学……&科网(2)判断点M是否在平面ABC内。热点题型三空间向量数量积的运算例3．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，

5、F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)·。(2)·。【解析】设＝a，＝b，＝c，则

6、a

7、＝

8、b

9、＝

10、c

11、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°。(1)＝＝c－a，＝－a，所以·＝·(－a)＝－a·c＋a2＝－＋＝。(2)＝＋＋＝＋(－)＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c，＝－＝c－a。所以·＝·(c－a)＝a2－a·b＋b·c＋c2－a·c＝－＋＋－＝。【提分秘籍】1．空间向量数量积计算的两种方法(1)基向量法：a·b＝

12、a

13、

14、b

15、cos〈a，b〉。(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x

16、2＋y1y2＋z1z2。2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0。(2)

17、a

18、＝。(3)cos〈a，b〉＝。【举一反三】已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为(　　)A．±B.C．－D．±【答案】C1.（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见

19、解析（Ⅱ）【解析】标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.2.（2018年天津卷）如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；（II）求二面角的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】依题意，可以建立以D为原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E

20、（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法