第5章代数结构.ppt

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1、第五章代数结构15-1代数系统的引入定义5-1.1如果为An到B的一个函数，则称为集合A上的n元运算（operater）。如果BA，则称该n元运算在A上封闭。定义5-1.2一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统称为一个代数系统（代数结构），记为。代数结构是由以下三个部分组成：非空集合S，称为代数结构的载体。载体S上的若干运算。一组刻划载体上各运算所满足性质的公理。常用一个多元序组来表示例：代数系统2例1：设X={

2、a,b,c,d}，定义X2到X的关系如下表所示*abcdaabcdbabcdcdcbaddcba由上表可以看出X2中的任意一个元素的象仍在X中，且象是唯一的。由定义知*是X上的一个二元运算。上表称为X上二元运算*的运算表。由代数系统的定义知，是代数系统。3运算表（复合表）：运算符＋行（列）表头元素＋复合元素构成例2：设S={1,2},给出(S)上的运算，－的运算表,其中全集为S.{1}{2}{1,2}{1}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1,2}{

3、1,2}{2}{1}4练习：设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算，*如下：x*y=(xy)mod5,求运算*的运算表55-2(代数系统)运算及其性质封闭xy(x,yA→xyA)交换律xy=yx结合律x(yz)=(xy)z分配律(对可分配)x(yz)=(xy)(xz)(yz)x=(yx)(zx)吸收律x(xy)=x,x(xy)=x等幂律xx=x例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉,则∪,∩满足吸收律，等幂律定义设和为集合A上

4、的二元运算:6例1在代数系统中，二元运算加和乘都满足结合律和交换律。例2设I是整数集合，“－”是整数减法。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故“－”是I上的二元运算。由代数系统的定义知是代数系统。取1,2,3I，由于(3－2)－1≠3－(2－1)3－2≠2－3故在此代数系统中，减法运算不满足结合律，也不满足交换律。7定义(补充)设是代数系统，是X上的二元运算。若x,y,zX，1)当xy=xz时，有y=z;2)当yx=zx时，有y=z;则称运算满足消去律。当运算

5、满足交换律时，1)、2)两式中只要有一式成立即有满足消去律。8取X={a,b,c,d}，S1={a,b},S2={b,c},S3={b},S4={a,b,c}由于S1∩S3={b}=S2∩S3，但S1≠S2，故∩不满足消去律。由于S1∪S4={a,b,c}=S2∪S4，但S1≠S2，故∪不满足消去律。例3在代数系统中，加法满足消去律，乘法不满足消去律。例4在代数系统<2X,∩,∪>中，∩和∪都不满足消去律。9代数系统的几个特殊元素幺元若ex(e,xA→ex=xe=x),则称e为A中的幺元

6、。零元若x(e,xA→x＝x＝，则称为代数结构(关于运算)的零元(zero)逆元若ab＝ba＝e，那么称a(b)为b(a)的逆元10定义5-2.7（幺元）设为集合A上的二元运算:若elx(el,xA→elx=x),则称el为A中的左幺元。若erx(er,xA→xer=x),则称er为A中的右幺元。若ex(e,xA→ex=xe=x),则称e为A中的幺元。见P-180页例题7。定理5-2.1代数结构有关于运算的幺元e，当且仅当它同时有关于运算

7、的左幺元el和右幺元er。并且其所含幺元是唯一的,即el=er=e。证明：先证左幺元el=右幺元er=eel=eler=er=e再证幺元e是唯一的设还有一个幺元e’A,则e’=e’e=e11定义5-2.8（零元）如果lA，满足:对一切xA，都有lx=l则称元素l为左零元。如果rA，满足:对一切xA，都有xr＝r则称元素r为右零元。如果A且对任意xA，都有x＝x＝则称元素为代数结构(关于运算)的零元(zero)。例题8表5-2.3定义的二元运算12

8、证明：先证左零元l=右零元r=l=lr=r=再证零元是唯一的设还有一个零元’A,则’=’=定理5-2.2代数结构有关于运算的零元，当且仅当它同时有关于运算的左零元l和右零元r。并且其所含零元是唯一的,即l=r=。13例：代数A=〈{a，b，c}，。〉用下表定义：。abcaabbbabccaba则b