《代数结构》PPT课件

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1、第五章代数结构本章主要内容代数系统的引入，运算的性质：封闭性、结合性、分配性、交换性；主要的代数系统：广群、半群、独异点、群、子群；代数系统之间的关系；交换群和循环群；陪集、拉格朗日定理；同态映射、同构映射；环、同态象、域。学习要求本章从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统中运算的性质。通过本章的学习使学生了解代数系统的结构与性质。2021/8/31本章将从一般代数系统的引入出发，研究一些特殊的代数系统，而这些代数系统中的运算具有某些性质，从而确定了这些代数系统的数学结构。2021/8/325-1代数系统的引入一、

2、集合上的运算及封闭性一元运算：f1:a→,aR,a≠0f2:a→[a],aRf3:a→-a,aR二元运算：f4:a,b→a+b,a,bRf5:a,b→a·b,a,bRf6:R2→R三元运算：f7：三种颜色→三种颜色混合色A→AA是各种颜色的集合。事实这些例子的共同特征就是运算结果还在原来的集合中。称具有这种特征的运算是封闭的，简称闭运算。2021/8/33很容易举出不封闭运算的例子：一架自动售货机，能接受一角硬币和二角五分硬币，而所对应的商品是桔子水、可口可乐和冰淇淋。当人们投入上述硬币的任何两枚时，自动售货机将按

3、表5-1.1所示供应相应的商品。表格左上角的记号*可以理解为一个二元运算的运算符。这个例子中的二元运算*就是集合{一角硬币，二角五分硬币}上的不封闭运算。*一角硬币二角五分硬币一角硬币二角五分硬币桔子水可口可乐可口可乐冰淇淋表5-1.12021/8/34设A={红色，黄色，蓝色}f7：三种颜色→三种颜色混合色f7是不封闭的。f8是I上的除法运算，f8是不封闭的。2021/8/35定义5-1.1如果为An到B的一个函数，则称为集合A上的n元运算（operater）。如果BA，则称该n元运算在A上封闭。在定义5.1.1中，

4、当n=1时，f称为集合A上的一元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c，记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记作*a或*(a)。2021/8/36设A=1,a,，其中，a是非零实数。f：A→A，定义为：aA，f(a)=。容易看出f是A上的一元运算。又如，f：N×N→N，定义为：m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法不是自然数集合N上的二元运算，因为两个自然数相减可

5、能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法不是自然数集合N上的二元运算。通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的运算必须满足以下两点：①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是惟一的。②A中任何元素的运算结果都属于A。通常称为运算在A是封闭的。2021/8/37【例5.1.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规定为：m,nN，m∗n=minm,nm∘n=maxm,n则∗和∘是N上的二元运算。【例5.1.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为：对于Nk中的任意两个元素

6、i和j，有称二元运算+k为模k加法。2021/8/38称二元运算×k为模k的乘法。模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么4+72=6可解释为：星期四再过两天后是星期六；4+75=2可解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意义的一种解释。Nk上的二元运算×k定义为：对于Nk中的任意两个元素i和j，有2021/8/39运

7、算的表示表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如f(a)=，运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的运算表如表5.1.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它的运算表如表5.1.2所示

8、。2021/8/310表5.1.1+4012300123112302230133012表5.1.2×40123000001012320202303212021/8/311二、代数系统定义5-1.2一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算f1,f2,…,fk所组成的系统称为一个代数系统（