第5章代数结构

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1、离散数学DiscreteMathematics主讲教师:王涛Email:wangtao690103@163.com第5章代数结构关于代数结构“…时至今日，数学家们还在忙于发展简单的计算方法，也就是在一切数学领域中的所谓算法。一旦我们有了算法，所有的其他事都留给了计算机。计算机所作的不再是数学了，但为了使用计算机，需要数学和数学家。”—H.Freudenthal“模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有的数学应用之心脏，也处于某些最抽象的纯数学核心之中。”——R.C.Buck数学之所以重要，其中心原因

2、就在于它提供的数学系统丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题、回答问题，并且也就探索了模型的行为。——R.C.Buck&.E.F.Buck近世代数—绪论初等代数、线性代数、高等代数都称为经典代数，研究的对象是代数方程和线性方程组。近世代数也称为抽象代数，研究的对象是代数系统（带有封闭运算的集合）。由于近世代数在数学的其他分支、近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而它是现代科学技术的数学基础之一，是许多科技人员

3、需要掌握的基本内容和方法，因此近世代数也是数学专业的专业基础课之一。古典代数?代数系统(系统化：模型及其性质)；纯数学结合计算机应用。•计算机科学：计算？计算过程？——能行性计算模型：抽象与具体化。•计算机科学中的代数方法：形式语言与自动机理论、可计算理论、语义学（模型论）——模型/语言。集合代数、逻辑代数密码学、数据表示理论、数字逻辑未来的计算机•其他：代数方程求解、物理、化学•思维训练•有关科学家：VonNeumann、Abel、Galois、Hawking、吴文俊1828年，他写的论文送交法国

4、科学院审查，原稿被柯西弄丢了。1829年7月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败。1830年初，他向科学院提交了的论文,因科学院秘书傅立叶将其手稿拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世了,此文再也没有找到.1827年阿贝尔回到挪威。次年患结核病不幸去世，年仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。知识点回顾【定义】运算：设A1,A2,…,An和B是集合，若f：A1A2…AnB则称f为A1,A2,…,An到B的n元

5、运算。【解释】1．定义在集合之上的运算，要求集合必须是非空集合。2．若f：AA…AB，则称f为A上的n元运算；3．若对于任意x1，x2，…，xnA，有f(x1，x2，…，xn)=yA，则称f为A上的n元封闭运算(代数运算)。即f:AA…AA4．由定义知，运算结果是唯一的，其中x1，x2，…，xn是参加运算的n个有顺序的对象，y是运算结果，f称为n元运算。封闭性：A中任何元素都可参与运算，运算结果属于A。【例1】设f:ZN，f(x)=

6、x

7、，则f是整数集合Z上的取绝对值运算，f是1元

8、运算。运算是封闭的。【例2】设f:Q×QQ，f(x1，x2)=x1+x2，则f是集合Q上的加法运算，f是2元运算。运算是封闭的。【例3】设f:Q×Q×QQ，f(x1，x2，x3)=x1+x2+x3，则f是集合Q上的3元封闭运算。特殊元素单位元素设*是A上的2元代数运算,若存在eA,对于任意的xA,下列条件均成立：e*x=x；x*e=x.则称e为集合A关于*运算的单位元素或幺元素。零元素设*是A上的2元代数运算,若存在A,对于任意的xA,下列条件均成立：*x=；x*=.则称为集

9、合A关于*运算的零元素。逆元素设*是A上的2元代数运算且有单位元素e，若对于xA,存在yA，使得下列条件均成立:x*y=e;y*x=e.则称y为x的关于*的逆元素。对称即是群。5.1代数结构简介Def设A是非空集合,f1,f2,…,fk(k1)是A上的代数(封闭)运算,则集合A连同其上的代数运算称为代数结构(algebrastructure)或代数系统(algebrasystem)或简称代数(algebra),记为(A,f1,f2,…,fk),在已知运算的情况下可简记为A.1.代数结构的定义对

10、于代数结构的理解,需注意以下几点：(1)A非空;(2)是A上的代数(封闭)运算;(3)运算f1,f2,…,fk(k1)在代数结构中是有顺序的,(A,f1,f2,…,fk)是(k+1)元组;(4)运算的元数ni可以相同.例5-1:判断下列集合及其上的运算是否构成代数结构。(1)(R,+).(2)(R,+,).(3)(P(X,∪,∩,－)定义：(A,f1,f2,…,fk)是代数结构,若A是有限集合，则(A,f1,f2,…,fk)是有限代数结构，否则称为无限代数结构.D