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时间:2019-11-21
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1、十七世纪的常用对数表是怎么算出来的前不久,在网上看到了金泽长街小牛先生的博文《回到十七世纪,让我来编算一本常用对数表》,受益匪浅。在我上中学时,也曾对数学用表中的对数和三角函数值是怎么算出来的感到好奇,但始终不得其解。中学时学的是四位对数表,后来也见到过八位对数表和十位对数表,但看不懂,不会用。读过小牛先生的文章后,不仅知道了对数表是怎么算出来的,也豁然明白八位对数表是怎么回事了。受小牛先生博文启发,我也想到了一种更为简单精确的计算常用对数表的方法,不用手算开高次方,只需加减乘除开平方,就可以编制出常用对数
2、表,这里介绍出来,与大家分享。 第一步、计算第一组基础对数 这组基础的对数值是:1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128,1/256,1/512,1/1024,1/2048,1/4096,1/8192共13个。 计算的方法很简单,就是不断开平方。在常用对数里,10的对数是1,把10开平方就得到对数1/2的真数值,即√10,把计算结果再开平方就得到对数1/4的真数值,把计算结果再开平方就得到对数1/8的真数值,......一直进行下去,等开到1/8192就可以了。有这13个
3、基础对数值,算8位对数表就够了,如果想要更精确的对数表,可以再多算几个基础对数,这里就不讨论了。 开平方是简单的运算,列竖式就可以开出来,开12位有效数字一般不会超过半小时,计算这13个基础对数一个人几小时就可以完成。有了这组基础对数,就可以通过把若干个基础对数相加的方式,计算出从1/8192,2/8192,3/8192,......到8191/8192的任何一个对数,这8191个对数在0~1之间均匀分布。 第二步、计算第二组基础对数 这第二组基础的对数值是:0.5,0.1,0.05,0.01,
4、0.005,0.001,0.0005,0.0001共八个。 0.5即1/2,在第一组基础对数中就有;0.1=819.2/8192,介于819/8192与820/8192之间,其中 819/8192=512/8192+256/8192+32/8192+16/8192+2/8192+1/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/4096+1/8192 对数相加,真数需相乘,将式中这6个基础对数对应的真数值相乘就可以得到819/8192的真数值。 820/8192=512/8192
5、+256/8192+32/8192+16/8192+4/8192 =1/16+1/32+1/256+1/512+1/2048 将式中这5个基础对数对应的真数值相乘就可以得到820/8192的真数值。 819/8192与820/8192之间的间距仅有1/8192,非常小,可以近似当成直线处理,在算出对数819/8192和820/8192的真数值后,通过“线性内插法”就可以算出对数819.2/8192即0.1对应的真数值。如担心多次相乘以及做线性内插时导致误差积累增大,可以把对数0.1的真数值累乘计算
6、5次方,看与对数0.5的真数值误差有多少,然后用开方公式做修正,消除误差。由于这样的计算本身已经很精确,误差修正的工作不会太费事。 得到对数0.1的真数值后,将之开平方就得到对数0.05的真数值。 然后,0.01=81.92/8192,分别计算出对数81/8192和82/8192的真数值,再用“线性内插法”计算出对数0.01的真数值,当然,也要做误差修正。 同样的方法,可以计算出对数0.005,0.001,0.0005,0.0001的真数值。 这一组8个对数务必要准确,在算出这一组8个基础对数之后,
7、就可以计算编制反对数表了。 第三步、计算编制反对数表 用对数做乘、除、乘方、开方运算得到的对数值,最终都要通过查反对数表才能得到真数,所以,反对数表是迟早必须要编的,而反对数表在计算方法上没有障碍,所以应该首先计算编制。有反对数表之后,再计算对数表就容易多了。 有了对数0.5和0.1对应的真数值,就可以计算出从0.1,0.2,0.3,...0.9这9个对数对应的真数值了,这9个对数构成的反对数表可以叫一级反对数表。计算的方法很简单,就是对数相加,真数相乘,比如0.6的对数,对数0.6=0.5+0
8、.1,所对应的真数就是 3.162277660168*1.258925411794=3.98107170553... 有了对数0.05和0.01对应的真数值以及一级反对数表,很容易就可以计算出从0.01,0.02,0.03,...0.99这99个对数对应的真数值,这99个对数构成的反对数表可以叫二级反对数表。计算的方法与前面相同,即对数相加,真数相乘。 有了对数0.005和0.001对应的真数值以及二级反对
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